Derivadas Covariantes

Dados os campos de tensor em uma variedade, como definimos derivadas direcionais suaves que se transformam corretamente sob mudanças de coordenadas? Acontece que a derivada parcial ordinária de um campo tensorial não se transforma como um tensor; isto é, é uma forma pouco confiável de tomar derivadas de tensores porque depende do sistema de coordenadas.

A solução para este problema vem da introdução de uma conexão, que permite definir a derivada covariante de um campo tensorial. Uma derivada covariante é uma operação que leva um campo tensorial de tipo \((p, q)\) e produz um campo tensorial de tipo \((p, q+1)\) .

Começamos com a derivada covariante das formas (campos covariantes) ao longo de um vetor. Seja \(\omega = \omega_i dx^i\) uma forma diferencial de grau 1, e seja \(X = X^j \frac{\partial}{\partial x^j}\) um campo de vetores suave. Definimos \(\nabla_X \omega = (\nabla_X \omega_i) dx^i = (X^j \nabla_j \omega_i) dx^i\) , onde \(\nabla_j \omega_i\) é definido a partir da equação

\nabla_j \omega_i = \partial_j \omega_i - \Gamma_{ji}^k \omega_k\,\,\,\, \text{(3)}\