Derivadas Covariantes

Derivadas Covariantes

Dados os campos de tensor em uma variedade, como definimos derivadas direcionais suaves que se transformam corretamente sob mudanças de coordenadas? Acontece que a derivada parcial ordinária de um campo tensorial não se transforma como um tensor; isto é, é uma forma pouco confiável de tomar derivadas de tensores porque depende do sistema de coordenadas.

A solução para este problema vem da introdução de uma conexão, que permite definir a derivada covariante de um campo tensorial. Uma derivada covariante é uma operação que leva um campo tensorial de tipo $(p,q)$ e produz um campo tensorial de tipo $(p,q+1)$ .

Começamos com a derivada covariante das formas (campos covariantes) ao longo de um vetor. Seja $\omega ={\omega }_{i}d{x}^i$ uma forma diferencial de grau 1, e seja $X=X^j\frac{\partial }{\partial x^j}$ um campo de vetores suave. Definimos ${\mathrm{\nabla }}_X\omega =({\mathrm{\nabla }}_X{\omega }_i)d{x}^i=(X^j{\mathrm{\nabla }}_j{\omega }_i)d{x}^i$ , onde ${\mathrm{\nabla }}_j{\omega }_i$ é definido a partir da equação

\[\nabla_j \omega_i = \partial_j \omega_i - \Gamma_{ji}^k \omega_k\,\,\,\, \text{(3)}\\]