Corpos

Corpos

No que se segue, teremos ocasião de usar várias classes de números (como a classe de todos os números reais ou a classe de todos os números complexos). Como não devemos, nesta fase inicial, nos comprometer com nenhuma classe específica, adotaremos o estratagema de nos referirmos a números como escalares. O leitor não perderá nada essencial se consistentemente interpretar escalares como números reais ou como números complexos; nos exemplos que estudaremos, ambas as classes aparecerão. Para ser específico (e também para operar no nível apropriado de generalidade), procedemos a listar todos os fatos gerais sobre escalares que precisaremos assumir.

(A) Para cada par, $\alpha$ e $\beta$, de escalares há um escalar correspondente $\alpha +\beta$, chamado a soma de $\alpha$ e $\beta$, de tal forma que

1. a adição é comutativa, $\alpha +\beta =\beta +\alpha$,
2. a adição é associativa, $\alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma$,
3. existe um único escalar $0$ (chamado zero) tal que $\alpha +0=\alpha$ para todo escalar $\alpha$, e
4. para cada escalar $\alpha$ existe um único escalar $-\alpha$ tal que $\alpha +(-\alpha )=0$.

(B) Para cada par, $\alpha$ e $\beta$, de escalares há um escalar correspondente $\alpha \beta$, chamado o produto de $\alpha$ e $\beta$, de tal forma que

1. a multiplicação é comutativa, $\alpha \beta =\beta \alpha$,
2. a multiplicação é associativa, $\alpha (\beta \gamma )=(\alpha \beta )\gamma$,
3. existe um único escalar não-nulo $1$ (chamado um) tal que $\alpha 1=\alpha$ para todo escalar $\alpha$, e
4. para cada escalar não-nulo $\alpha$ existe um único escalar ${\alpha }^{-1}$ (ou $\frac{1}{\alpha }$) tal que $\alpha {\alpha }^{-1}=1$.

(C) A multiplicação é distributiva em relação à adição, $\alpha (\beta +\gamma )$ $=\alpha \beta +\alpha \gamma$.

Se a adição e a multiplicação são definidas dentro de algum conjunto de objetos (escalares) de tal forma que as condições (A), (B), e (C) são satisfeitas, então esse conjunto (juntamente com as operações dadas) é chamado um corpo. Assim, por exemplo, o conjunto $\mathbb{Q}$ de todos os números racionais (com as definições ordinárias de soma e produto) é um corpo, e o mesmo vale para o conjunto $ℝ$ de todos os números reais e o conjunto $ℂ$ de todos os números complexos.