Corpos

Corpos

No que se segue, teremos ocasião de usar várias classes de números (como a classe de todos os números reais ou a classe de todos os números complexos). Como não devemos, nesta fase inicial, nos comprometer com nenhuma classe específica, adotaremos o estratagema de nos referirmos a números como escalares. O leitor não perderá nada essencial se consistentemente interpretar escalares como números reais ou como números complexos; nos exemplos que estudaremos, ambas as classes aparecerão. Para ser específico (e também para operar no nível apropriado de generalidade), procedemos a listar todos os fatos gerais sobre escalares que precisaremos assumir.

(A) Para cada par, \(\alpha\) e \(\beta\), de escalares há um escalar correspondente \(\alpha+\beta\), chamado a soma de \(\alpha\) e \(\beta\), de tal forma que

  1. a adição é comutativa, \(\alpha+\beta=\beta+\alpha\),
  2. a adição é associativa, \(\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma\),
  3. existe um único escalar \(0\) (chamado zero) tal que \(\alpha+0=\alpha\) para todo escalar \(\alpha\), e
  4. para cada escalar \(\alpha\) existe um único escalar \(-\alpha\) tal que \(\alpha+(-\alpha)=0\).

(B) Para cada par, \(\alpha\) e \(\beta\), de escalares há um escalar correspondente \(\alpha \beta\), chamado o produto de \(\alpha\) e \(\beta\), de tal forma que

  1. a multiplicação é comutativa, \(\alpha \beta=\beta \alpha\),
  2. a multiplicação é associativa, \(\alpha(\beta \gamma)=(\alpha \beta) \gamma\),
  3. existe um único escalar não-nulo \(1\) (chamado um) tal que \(\alpha 1=\alpha\) para todo escalar \(\alpha\), e
  4. para cada escalar não-nulo \(\alpha\) existe um único escalar \(\alpha^{-1}\) (ou \(\frac{1}{\alpha}\)) tal que \(\alpha \alpha^{-1}=1\).

(C) A multiplicação é distributiva em relação à adição, \(\alpha(\beta+\gamma)\) \(=\alpha \beta+\alpha \gamma\).

Se a adição e a multiplicação são definidas dentro de algum conjunto de objetos (escalares) de tal forma que as condições (A), (B), e (C) são satisfeitas, então esse conjunto (juntamente com as operações dadas) é chamado um corpo. Assim, por exemplo, o conjunto \(\mathbb{Q}\) de todos os números racionais (com as definições ordinárias de soma e produto) é um corpo, e o mesmo vale para o conjunto \(\mathbb{R}\) de todos os números reais e o conjunto \(\mathbb{C}\) de todos os números complexos.