Relation entre les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant

Une relation générale entre la charge, l'effort tranchant et le moment fléchissant peut être établie de la manière suivante. Considérons une poutre soumise à une charge quelconque donnée par la fonction $q(x)$, où $q$ est une charge répartie en livres par pied pouvant varier de manière quelconque. La Fig. 1 montre un diagramme de corps libre d'une portion de cette poutre de longueur $dx$.

Pour l'équilibre, nous avons : De la première équation : Et de la deuxième équation, en négligeant la différentielle du second ordre $(dx)(dx)$ :

Ces expressions donnent la relation entre la charge, l'effort tranchant et le moment fléchissant dans une poutre. La première expression indique que l'ordonnée du diagramme de charge est égale à la pente du diagramme de l'effort tranchant, tandis que la deuxième expression indique que l'ordonnée du diagramme de l'effort tranchant est égale à la pente du diagramme du moment fléchissant. En utilisant la deuxième affirmation, on peut construire le diagramme du moment fléchissant une fois le diagramme de l'effort tranchant connu. La valeur du moment fléchissant peut être exprimée en fonction de l'effort tranchant en intégrant la deuxième expression ci-dessus pour obtenir : Ceci indique que la différence entre les valeurs du moment fléchissant en deux points d'une poutre est égale à l'aire du diagramme de l'effort tranchant entre ces deux points.

Lors de la conception des poutres, on s'intéresse généralement surtout à la détermination de la valeur du moment fléchissant maximal. Ce moment fléchissant maximal se produira au point où la pente du diagramme du moment fléchissant est nulle, et donc au point où le diagramme de l'effort tranchant est nul. Chaque point d'une poutre où le diagramme de l'effort tranchant passe par zéro doit donc être examiné comme un point possible de moment fléchissant maximal pour l'ensemble de la poutre.

Exemple. En utilisant les informations établies ci-dessus, trouvez le moment fléchissant maximal dans la poutre illustrée à la Fig. 2.

Solution. Nous déterminons d'abord les réactions et traçons le diagramme de l'effort tranchant par la méthode décrite précédemment. La relation $q={\displaystyle \frac{dV}{dx}}$ nous indique que lorsque la charge est uniformément répartie, la pente du diagramme de l'effort tranchant est constante, et que lorsqu'une charge concentrée apparaît, il y aura une discontinuité dans le diagramme de l'effort tranchant.

Le diagramme de l'effort tranchant coupe l'axe des zéros en deux points, $A$ et $B$, dont l'un correspond au moment fléchissant maximal pour l'ensemble de la poutre. La valeur du moment fléchissant en $A$ est l'aire du diagramme de l'effort tranchant à gauche de $A$, et la valeur du moment fléchissant en $B$ est l'aire du diagramme de l'effort tranchant à droite de $B$. Ces aires sont :

Ainsi, le moment fléchissant maximal est le moment positif en $A$ de $6750\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$.

6.12.1 PROBLÈMES

1. Trouvez le diagramme du moment fléchissant pour la poutre suivante, graphiquement, en utilisant un polygone funiculaire, et vérifiez la valeur maximale du moment fléchissant dans la poutre.

2. En utilisant la méthode de l'exemple de cette section, construisez le diagramme du moment fléchissant et trouvez le moment fléchissant maximal pour la poutre illustrée ci-dessous.

3. Même chose que le problème précédent pour la poutre illustrée ci-dessous.

4. Même chose que le problème précédent pour la poutre illustrée ci-dessous.