Problèmes d'équilibre par méthodes graphiques

Si l’on trace un diagramme funiculaire pour un système de forces en équilibre, on constate que non seulement le polygone des forces forme un polygone fermé, mais aussi que les deux cordons extrêmes du diagramme funiculaire sont colinéaires, formant ainsi un polygone funiculaire fermé, comme le montre la Fig. 1.

On peut donc dire que les conditions graphiques d’équilibre sont que le polygone des forces et le polygone funiculaire doivent tous deux se fermer. La fermeture du polygone des forces signifie que $\sum F = 0$ et la fermeture du polygone funiculaire signifie que $\sum M = 0$ .

On peut utiliser le fait que les deux diagrammes doivent se fermer pour obtenir une solution graphique des problèmes d’équilibre, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple. Trouver graphiquement les forces de réaction en $A$ et $B$ pour un treillis chargé comme indiqué à la Fig. 2.

Solution. Un diagramme de corps libre du treillis avec les forces identifiées au moyen de la notation de Bow est montré à la Fig. 3. Les forces inconnues $e a$ , $c d$ et $d e$ sont représentées avec leurs lignes d’action correctes ; leurs intensités ne peuvent, bien entendu, pas encore être tracées à l’échelle. La notation doit être disposée de manière que les forces connues viennent en premier, afin que les diagrammes puissent être construits aussi complètement que possible. Le diagramme est ensuite tracé à l’échelle, et le polygone des forces et le polygone funiculaire sont construits avec les forces connues.

La Fig. 4 montre la partie des polygones des forces et funiculaire que l’on peut tracer avec les forces connues. La solution complète à l’échelle est montrée à la Fig. 5.

On voit d’après le polygone des forces de la Fig. 4 qu’il est possible de déterminer directement l’une des forces inconnues, $e a$ , à partir du polygone des forces, puisque l’on sait que les deux forces $c d$ et de doivent se trouver sur une ligne verticale passant par $c$ , et que la force $e a$ doit se trouver sur une ligne horizontale passant par $a$ , pour que le polygone des forces se ferme. L’intersection de ces lignes fixe le point $e$ , ce qui détermine la force $e a$ et permet de tracer un autre cordon, $e o$ , dans le polygone funiculaire. Le polygone des forces est maintenant fermé, mais le polygone funiculaire est encore ouvert, car le cordon $d o$ , qui joindrait les points marqués $A$ et $B$ à la Fig. 5, est absent. Pour l’équilibre, ce cordon doit cependant être présent, nous traçons donc do, qui ferme le polygone funiculaire. Nous pouvons maintenant déterminer le point $d$ dans le polygone des forces, car, en raisonnant à rebours, nous pouvons tracer le rayon do dans le polygone des forces parallèlement au cordon do du polygone funiculaire. La détermination du point $d$ dans le polygone des forces donne directement les forces $c d$ et $d e$ et achève ainsi la solution.

En mesurant les valeurs des forces à l’échelle, on trouve :

Pour vérifier notre solution, déterminons analytiquement la force $c d$ en prenant les moments autour de l’extrémité gauche du treillis : $\begin{matrix} \sum M_{Δ} = 0 = (20) (c d) - (5) (2000) - (866) (15) + (500) (2.88) \\ c d = 1080 lb \end{matrix}$

6.7.1 Problèmes

1. Une poutre est supportée en deux points et chargée par trois forces parallèles comme indiqué sur le schéma. Trouver graphiquement les deux réactions aux appuis.

Réponse

$1167 lb; 1333 lb$

2. Un système de trois forces parallèles agit sur une poutre supportée comme indiqué sur la figure. Trouver graphiquement les deux réactions aux appuis. Vérifier ces réactions analytiquement.

Réponse

200 lb (vers le bas) ; 8200 lb (vers le haut)

3. Un treillis est chargé par trois forces comme indiqué sur le schéma. Trouver graphiquement les forces aux appuis. Vérifier la valeur de la réaction verticale à l’extrémité droite du treillis analytiquement.

Réponse

2150 lb (extrémité droite)