Méthode des sections

Une autre méthode pour trouver les forces dans les barres d'une poutre en treillis, la méthode des sections, est particulièrement utile pour les problèmes où les forces dans une seule ou quelques barres d'une poutre en treillis doivent être calculées. La méthode consiste à tracer un diagramme de corps libre d'une partie de la poutre en treillis, obtenu en imaginant que les barres pour lesquelles les forces doivent être déterminées ont été coupées. Cela donne généralement un système général de forces coplanaires pour lequel trois équations d'équilibre peuvent être écrites.

Exemple. En se référant à la poutre en treillis résolue ci-dessus par la méthode des nœuds, trouvez la force dans la barre $CD$ par la méthode des sections (Fig. 1).

Solution. Nous imaginons que nous coupons les trois barres $CD,CE$, et $AE$, et nous dessinons un diagramme de corps libre (Fig. 2) de la partie gauche de la poutre en treillis :

C'est un système général de forces coplanaires pour lequel nous pouvons écrire trois équations indépendantes. Si nous déterminons $A_x$ et $A_y$ comme dans la solution précédente au moyen d'un diagramme de corps libre de la poutre en treillis entière, il restera les trois inconnues $F_{CD},F_{CE}$, et $F_{AB}$, qui peuvent être trouvées à partir des trois équations.

Si nous n'avons besoin que de la force $F_{CD}$, nous pouvons la trouver directement à partir d'une équation de moment en prenant comme centre de moment le point $E$, qui est le point d'intersection des deux forces inconnues $F_{CE}$ et $F_{AE}$

ce qui vérifie la solution obtenue par la méthode des nœuds.

On pourrait, bien sûr, arriver à la même solution en prenant la partie droite de la poutre en treillis comme diagramme de corps libre (Fig. 3) :

Dans ce cas, la même quantité de travail est requise pour chaque partie de la poutre en treillis. Dans certains problèmes, une partie conduira à des équations plus simples que l'autre et devrait donc être choisie.

On verra que la méthode des sections précédente est très généralement applicable. La plupart des poutres en treillis sont conçues de manière qu'une partie de la poutre en treillis puisse être isolée en coupant trois barres, et une équation de moment peut toujours être écrite autour du point d'intersection de deux des barres.

Cela laisse une équation et une inconnue qui peuvent être résolues directement. L'avantage de cette méthode par rapport à la méthode des nœuds est que la force dans une barre située quelque part au milieu d'une poutre en treillis peut être calculée sans d'abord calculer les forces dans un certain nombre d'autres barres. Cet avantage est, bien sûr, moins important si les forces dans toutes les barres de la poutre en treillis doivent être déterminées. Même dans ce cas, il est généralement utile de résoudre la force dans l'une des barres centrales comme vérification des calculs numériques.

Il existe certains types de poutres en treillis isostatiques qui ne peuvent pas être résolus directement par les méthodes ci-dessus. Considérons, par exemple, la poutre en treillis montrée à la Fig. 4.

Dans cette poutre en treillis, les trois barres qui se croisent au centre ne sont pas reliées à cet endroit, mais se croisent librement en ce point. Le nombre de nœuds dans la poutre en treillis est de six, et le nombre de barres est de neuf, de sorte que la condition nécessaire pour une structure isostatique est satisfaite. On verra aussi que le cadre est rigide. Si nous essayons d'appliquer la méthode des nœuds à cette poutre en treillis, nous constatons qu'il n'y a pas de nœud avec seulement deux inconnues, de sorte que nous ne pouvons pas commencer à démêler la solution. De même, avec la méthode des sections, on trouvera que les seules sections qui peuvent être isolées en coupant trois barres donnent trois forces concourantes inconnues, pour lesquelles aucune solution ne peut être obtenue. Il est cependant possible d'écrire toutes les équations pour tous les nœuds, puis de résoudre ces équations simultanément. C'est cependant une procédure très laborieuse, qui pour de plus grands treillis ne serait guère un mode de calcul pratique. De telles poutres en treillis sont appelées poutres en treillis complexes, et des méthodes spéciales ont été développées pour les résoudre. Il y a généralement peu de raisons d'employer un tel treillis complexe, car un treillis simple pourrait dans la plupart des cas être conçu et serait tout aussi efficace.

6.4.1 PROBLÈMES

1. Trouvez les forces dans les barres de la poutre en treillis montrée dans le diagramme par la méthode des nœuds. Vérifiez la force dans la barre $CE$ par la méthode des sections.

Réponse

$BD=1500\mathrm{lb}(\mathrm{C})$, $CD=1250\mathrm{lb}(\mathrm{C})$

2. Toutes les barres de la poutre en treillis montrée dans le diagramme ont la même longueur $l$ sauf $GH$, qui a une longueur $\frac{l}{2}$. Trouvez la force dans chaque barre par la méthode des nœuds, et vérifiez la force dans la barre $FG$ par la méthode des sections.

Réponse

$AB=8660\mathrm{lb}(\mathrm{T})$, $FG=5580\mathrm{lb}(\mathrm{C})$

4. Trouvez la force dans la barre verticale centrale marquée $l$ dans la poutre en treillis montrée dans la figure.

Réponse

$F$

5. Trouvez les forces dans les barres de la poutre en treillis montrée dans le diagramme.

Réponse

$1115\mathrm{lb}(\mathrm{T}),298\mathrm{lb}$ (C)

6. Trouvez la force dans chaque barre de la poutre en treillis montrée dans la figure.

Réponse

Barre verticale centrale $F=4330\mathrm{lb}$ (T)