Méthode des nœuds

La méthode des nœuds consiste à tracer un diagramme de corps libre de chaque nœud du treillis et à écrire les deux équations d'équilibre pour chaque diagramme de corps libre. Pour la plupart des treillis, il sera possible de commencer par un diagramme de corps libre dans lequel il n'y a que deux inconnues. La méthode générale sera illustrée par l'exemple suivant, qui indiquera l'approche et les étapes à suivre pour l'analyse de tout type similaire de treillis par la méthode des nœuds.

Exemple. Un treillis plan est soumis à des forces comme indiqué sur la Fig. 1. Trouvez l'effort dans chaque barre du treillis. Toutes les barres ont la même longueur. L'extrémité gauche du treillis est fixée par une articulation, tandis que l'autre extrémité repose sur des rouleaux de telle sorte que la réaction d'appui est verticale.

Solution. Nous traçons d'abord un diagramme de corps libre (Fig. 2) de la structure entière :

Nous remarquons qu'il n'y a pas de nœuds qui ne comportent que deux forces inconnues, de sorte que la première étape consiste à déterminer, à partir du diagramme de corps libre complet, les réactions extérieures

A_{x}

A_{y}

B

\sum F_{x} = 0 = - A_{x} + 500;

\Rightarrow A_{x} = 500 lb

\sum M_{A} = 0 = - (\frac{l}{2}) (1000) - (\frac{\sqrt{3}}{2} l) (500) + (2 l) B

\Rightarrow B = 250 + 216 = 466 lb

\sum M_{B} = 0 = - (2 l) A_{y} + (\frac{3}{2} l) (1000) - (\frac{\sqrt{3}}{2} l) (500)

\Rightarrow A_{y} = 750 - 216 = 534 lb

Équation de vérification :

Ayant trouvé $A_{x}, A_{y}$ et $B$ , nous pouvons maintenant commencer par le nœud $A$ ou $B$ , car il n'y aura que deux forces inconnues à chaque nœud. Nœud $A$ :

Les forces inconnues $F_{A C}$ et $F_{A B}$ peuvent être soit des tractions dirigées hors du nœud, soit des compressions dirigées vers le nœud. Pour de nombreux treillis, il sera possible de déterminer par inspection si les forces sont des tractions ou des compressions. Si cela n'est pas possible, la force peut être indiquée dans l'une ou l'autre direction. Si la force est alors positive, la direction supposée était correcte ; si elle est négative, la force a en réalité un sens opposé. Une autre procédure, que nous adopterons dans cet exemple, consiste à indiquer toutes les forces inconnues comme des tractions. Ainsi, les forces positives sont des tractions et les forces négatives sont des compressions.

En écrivant les équations pour le diagramme de corps libre du nœud $A$ , nous avons :

Il faut prendre soin de conserver le signe négatif de la force $F_{A C}$ dans les calculs suivants, comme dans l'équation $\sum F_{x} = 0$ ci-dessus.

Ayant trouvé la force $F_{A C}$ , nous pouvons maintenant passer au diagramme de corps libre du nœud $C$ , puisqu'il ne reste que deux forces inconnues à ce nœud. Sachant maintenant que $F_{A C}$ est une force de compression, nous la représenterons ainsi dans le diagramme de corps libre, plutôt que de garder le signe négatif :

\sum F_{x} = 0 = F_{C D} + 618 \cos 60^{\circ} + F_{C E} \cos 60^{\circ}

\sum F_{y} = 0 = - 1000 + 618 \sin 60^{\circ} - F_{C E} \sin 60^{\circ}

F_{C E} = \frac{(618) (0.866) - 1000}{0.866} = - 540 lb (compression)

Passons ensuite au nœud $E$ :

\sum F_{x} = 0 = F_{E B} + F_{E D} \cos 60^{\circ} + 540 \cos 60^{\circ} - 809

\sum F_{y} = 0 = - 540 \sin 60^{\circ} + F_{E D} \sin 60^{\circ}

F_{E D} = 540 lb (traction)

F_{E B} = - (2) (540) (\frac{1}{2}) + 809 = 269 lb (traction)

Nœud $D$ :

Équation de vérification :

Nous avons maintenant trouvé les forces dans toutes les barres, bien que nous n'ayons pas encore écrit les deux équations pour le nœud $B$ . Ces deux équations serviront d'équations de vérification supplémentaires.