Le polygone funiculaire comme diagramme des moments

Nous avons vu ci-dessus que la construction d'un polygone funiculaire équivaut à résoudre les équations de moments. Nous allons maintenant montrer la relation entre le diagramme funiculaire et le moment d'une force.

La figure 1a montre une force ($ab$) telle qu'elle apparaît dans le diagramme funiculaire. Le diagramme des forces pour la même force est montré à la figure 1b. En (a) sont également montrées les deux cordes $ao$ et $bo$ du diagramme funiculaire qui sont parallèles aux rayons $ao$ et $bo$ dans le diagramme des forces. Prenons un point quelconque $A$ à une distance $l$ de la force $(ab)$ et appelons $d$ l'intercepte du diagramme funiculaire qui serait coupé par une ligne passant par $A$ parallèle à $ab$. Nous appellerons en outre la distance perpendiculaire entre le pôle $O$ et la force $(ab)$ la distance polaire, $p$. Alors, les deux triangles ombrés de la figure 1 seront similaires, et nous avons : mais $l(ab)=$ le moment de la force (ab) par rapport au point $A$ ; donc, nous pouvons dire : Le moment d'une force par rapport à un point est égal à la distance polaire multipliée par l'intercepte sur le diagramme funiculaire.

La principale valeur de cette proposition peut être vue dans le cas d'un système de forces parallèles, comme montré à la Fig. 2.

Supposons que nous souhaitions trouver la somme des moments de toutes les forces à gauche du point $A$ par rapport au point $A$. Comme précédemment, soit $d$ l'intercepte sur le diagramme funiculaire d'une ligne passant par $A$ parallèle aux forces du système. La somme des moments des forces $(ab)$ et ($bc)$ par rapport au point $A$ sera égale au moment de la résultante des deux forces ($ab$) et ($bc$) par rapport au point $A$. Cette résultante est la force ($ac$), qui agit à la position montrée sur le diagramme funiculaire. En notant à nouveau que les triangles ombrés montrés dans le diagramme funiculaire et dans le diagramme des forces sont similaires, nous avons : ou la somme des moments à gauche du point $A$ est égale à l'intercepte dans le diagramme funiculaire multipliée par la distance polaire.

On verra d'après la Fig. 2 que cette conclusion serait vraie pour n'importe quelle position du point $A$ et pour n'importe quel nombre de forces.

Dans un certain nombre de problèmes d'ingénierie, il est nécessaire de préparer un diagramme qui montrera, pour un système de forces parallèles, la somme des moments de toutes les forces à gauche d'un point pour différentes positions de ce point. On verra que le diagramme funiculaire représente, à une échelle dépendant de la distance polaire $p$, un tel diagramme de moments. Les diagrammes funiculaires sont beaucoup utilisés, de cette manière, dans la détermination graphique des flèches et des vitesses critiques des arbres.

6.8.1 PROBLÈMES

1. Trouvez graphiquement le moment résultant par rapport au point $A$ et par rapport au point $B$ des forces à gauche de ces points, pour le système montré dans le diagramme. Vérifiez les moments par rapport à $A$ analytiquement.

Réponse

$M_{\mathrm{A}}=720\mathrm{ft}-\mathrm{lb};$ $M_{\mathrm{B}}=2820\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

2. Une poutre chargée comme montré dans le diagramme est soutenue à ses deux extrémités. Trouvez graphiquement au moyen d'un diagramme funiculaire le point le long de la longueur de la poutre par rapport auquel la somme des moments de toutes les forces d'un côté du point est maximale.

Réponse

5 ft de l'extrémité gauche