Cadres rigides

Un type de structure très courant se compose de barres droites reliées entre elles de manière à former une ossature rigide. Les éléments d'une telle ossature sont généralement de longues barres élancées, soumises à la traction ou à la compression. La signification du terme « ossature rigide » peut être observée dans la Fig. 1.

Dans la Fig. 1a, on montre une ossature constituée de quatre barres articulées entre elles à leurs extrémités. On constatera qu'un tel agencement n'est pas une ossature rigide, car le système entier peut se déformer comme le montrent les lignes pointillées, sans que les dimensions des barres changent. Cette déformation pourrait toutefois être empêchée par l'ajout d'une barre supplémentaire, comme le montre la Fig. 1b. L'ossature, qui se compose maintenant de deux sections triangulaires, s'avère être rigide. Le système rigide le plus simple est l'ossature triangulaire, Fig. 1c, et tout système complexe formé de sections triangulaires, comme la Fig. 1d, sera également une ossature rigide.

Pour une ossature rigide, il existe une relation définie entre le nombre de barres, $m$, et le nombre de nœuds, $j$. Supposons que l'une des barres d'une ossature plane soit fixe par rapport à un système de coordonnées. Pour que l'ensemble de l'ossature soit rigide, les $(j-2)$ nœuds restants doivent alors avoir des positions dans ce système de coordonnées déterminées par les longueurs données des barres. Chacun des $(j-2)$ nœuds a ses deux coordonnées fixées par l'intersection de deux barres supplémentaires. Puisqu'une barre est déjà fixe, il nous reste $(m-1)$ barres pour positionner les nœuds ; d'où :

Cette relation est la condition nécessaire pour une ossature plane rigide. Ce n'est cependant pas une condition suffisante, car les barres peuvent être disposées de telle manière qu'elles ne contribuent pas à la rigidité de l'ossature. Ceci est illustré dans la Fig. 2.

Dans la Fig. 6-2a, on montre une ossature rigide qui satisfait la condition ci-dessus. En déplaçant la barre $AB$ vers la position $BC$ dans la Fig. 6-2b, l'ossature devient non rigide, car la section ombrée de droite pourrait être translatée par rapport à la section ombrée de gauche. Ainsi, l'ossature en (b) est non rigide même avec la même relation entre barres et nœuds, puisque la barre $BC$ est placée de telle sorte qu'elle ne maintient pas la contrainte complète de l'ossature. Si la condition nécessaire est remplie, on peut généralement dire facilement par inspection si l'ossature est rigide, ou si une condition exceptionnelle telle qu'illustrée ci-dessus est présente.

Nous examinons ensuite comment contraindre une ossature rigide dans l'espace au moyen d'appuis qui exerceront des forces de réaction sur l'ossature lorsqu'elle est chargée par un système de forces extérieures. Nous supposerons que l'ossature n'est chargée que par des forces situées dans le plan de l'ossature, et par conséquent nous n'avons besoin de considérer que la contrainte de l'ossature dans un plan.

En suivant le même raisonnement que celui utilisé dans le Chapitre : L'équilibre des systèmes de forces pour établir la condition de contrainte complète d'un corps dans l'espace, nous trouvons que pour contraindre complètement un corps dans un plan, il faut utiliser l'équivalent de trois forces non parallèles et non concourantes, comme montré à la Fig. 3a.

Un moyen courant d'obtenir cette contrainte est montré à la Fig. 3b, où une extrémité de l'ossature est supportée par un axe qui peut exercer une force de réaction dans n'importe quelle direction du plan, tandis que l'autre extrémité est supportée de manière à ne pouvoir développer qu'une force de réaction verticale. Ces appuis sont représentés par les trois forces de réaction $A_x,A_y$ et $B$ dans le diagramme de corps libre de la Fig. 3c.

Nous supposons maintenant que l'ossature contrainte par ses appuis est chargée par un système de forces extérieures (comme $F_1,F_2$ et $F_3$ dans la Fig. 3), et nous étudions le problème de la détermination des forces inconnues dans les barres et des réactions inconnues aux appuis. Le nombre total d'éléments inconnus sera constitué des $(2j-3)$ forces axiales dans les barres, plus les trois forces de réaction, de sorte que le nombre total de forces inconnues est (2j). Les forces agissant à chaque nœud de la structure forment un système de forces concourantes et coplanaires, pour lequel on peut écrire deux équations indépendantes. Ainsi, le nombre total d'équations indépendantes qui peuvent être écrites pour l'ensemble du système est ($2j$), ce qui suffira juste à déterminer les ($2j$) inconnues. Un tel système est dit statiquement déterminé, et les équations d'équilibre seules suffiront à résoudre toutes les forces inconnues du système.

Il est cependant possible qu'il y ait plus de barres dans un système qu'il n'en faut pour la rigidité. Si, par exemple, dans la Fig. 4b nous ajoutons la barre $AB$ à l'ossature déjà rigide de la Fig. 4a, nous aurons plus d'inconnues que d'équations.

De telles barres supplémentaires sont appelées redondants, et leur présence rend le problème statiquement indéterminé, car il n'y aura pas assez d'équations d'équilibre pour résoudre les forces inconnues. Pour résoudre de tels problèmes statiquement indéterminés, les déformations des barres doivent être prises en compte, et par conséquent la théorie de l'élasticité doit être introduite dans le problème. Nous nous limiterons, dans le présent chapitre, aux systèmes statiquement déterminés.