Câbles flexibles

Un élément structurel couramment rencontré est un câble ou une chaîne flexible, suspendu par ses deux extrémités et soumis à un système de forces verticales. Par câble flexible, on entend un câble capable de supporter uniquement une force de traction qui, en tout point, est tangente à la courbe prise par le câble. Les deux types de chargement les plus courants sont une charge uniformément répartie sur la portée horizontale du câble, et une charge verticale uniformément répartie le long du câble. Le premier cas se rencontre dans les ponts suspendus où le poids de la structure supportée horizontalement peut être important par rapport au poids des câbles de suspension, tandis que le second type de chargement est celui rencontré par les lignes de transmission électrique.

Nous verrons d'abord jusqu'où nous pouvons pousser l'analyse pour un câble flexible dont les extrémités sont supportées à des hauteurs différentes, et qui est soumis à un système de forces verticales variant d'une manière quelconque, comme illustré à la Fig. 1a. Nous négligerons l'allongement du câble sous la charge en supposant que le câble est inextensible.

Nous fixons l'origine d'un système de coordonnées $xy$, qui se trouve dans le plan du câble, au point le plus bas du câble. Nous traçons ensuite un diagramme de corps libre de la portion du câble comprise entre ce point le plus bas $O$, où le câble a une tangente horizontale, et un point quelconque $x,y$ sur le câble. Les forces agissant sur le câble sont la force horizontale $F_h$ en $O$, la force tangentielle $F$ au point $x,y$ et la force $W$, qui est la partie de la charge agissant sur la longueur de câble de $O$ à $x,y$ et qui inclut le poids du câble. Cette force $W$ passe par le centre de gravité du diagramme d'intensité de charge, comme illustré à la Fig. 1b.

Nous remarquons maintenant que nous avons un système de trois forces en équilibre, de sorte qu'elles doivent être concourantes. Par conséquent, si la forme du diagramme d'intensité de charge est connue, la position de $W$ sera connue et la direction de la force tangentielle $F$ sera déterminée. Puisque la direction de la tangente au câble en un point quelconque pourrait ainsi être déterminée, la forme de la courbe prise par le câble pourrait être trouvée.

Si nous notons $\theta$ l'angle que fait la tangente à la courbe au point $x,y$ avec l'horizontale, nous avons : $$\frac{dy}{dx}=\tan \theta$$ De plus, à partir du diagramme des forces de la Fig. 1c, nous remarquons que : $$\tan \theta =\frac{W}{F_h}$$ de sorte que l'équation différentielle décrivant la forme du câble suspendu est : Pour les deux distributions de charge simples mentionnées ci-dessus, cette équation différentielle peut être résolue analytiquement, et l'équation du câble suspendu peut être trouvée.