Câble chargé par son propre poids

Dans certains cas, la charge agissant sur un câble flexible est uniformément répartie le long du câble plutôt que le long de l'horizontale. C'est toujours le cas lorsque la charge principale sur le câble est son propre poids, comme pour une ligne de transport électrique. Dans ce problème, la même équation différentielle dérivée ci-dessus est valable : $\frac{d y}{d x} = \frac{W}{F_{h}}$ où maintenant $W = w_{1} s$ où $w_{1}$ est le poids par unité de longueur du câble, et $s$ est la longueur du câble depuis le point le plus bas jusqu'au point $x, y$ .

En exprimant $s$ en fonction de $x$ et $y$ , on a : $\frac{d s}{d x} = \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} .$

Puisque $\frac{d y}{d x} = \frac{w_{1} s}{F_{h}}$ ceci devient À partir des tables d'intégrales, on trouve : $x = \frac{F_{h}}{w_{1}} \sinh^{- 1} \frac{w_{1} s}{F_{h}} + C_{1}$

lorsque $x = 0, s = 0$ , donc $C_{1} = 0$ . Ainsi $\frac{w_{1} s}{F_{h}} = \sinh \frac{w_{1} x}{F_{h}}; s = \frac{F_{h}}{w_{1}} \sinh \frac{w_{1} x}{F_{h}}$

En substituant ceci dans l'équation différentielle originale, on obtient : lorsque $x = 0, y = 0$ $0 = \frac{F_{h}}{w_{1}} \cosh 0 + C_{2}; C_{2} = - \frac{F_{h}}{w_{1}}$ d'où

Cette équation donne la courbe que prendra le câble flexible suspendu sous son propre poids. Une telle courbe est appelée une chaînette.

La force dans le câble peut être trouvée de la même manière que pour le câble parabolique, l'Équation (2) de la section précédente devenant : $F = \sqrt{F_{h}^{2} + w_{1}^{2} s^{2}} = F_{h} \sqrt{1 + \sinh^{2} \frac{w_{1} x}{F_{h}}}$ puisque $\cosh^{2} α - \sinh^{2} α = 1$ ceci donne : $F = F_{h} \cosh \frac{w_{1} x}{F_{h}}$ pour le cas d'un câble suspendu à deux supports au même niveau. La force maximale se produira au niveau du support, où $x = \frac{l}{2}$ , donc $F_{max} = F_{h} \cosh \frac{w_{1} l}{2 F_{h}}$ Pour trouver $F_{h}$ , on note que lorsque $x = \frac{l}{2}, y = f$ . En introduisant ces valeurs dans l'équation reliant $x$ et $y$ , on obtient : $f = \frac{F_{h}}{w_{1}} (\cosh \frac{w_{1} l}{2 F_{h}} - 1)$

Cette équation peut, dans la plupart des problèmes pratiques, être résolue facilement par essais et erreurs.

6.15.1 PROBLÈMES

1. Un câble de 1000 ft de long pesant 2 lb par ft doit être suspendu à deux points au même niveau. Si la force dans le câble doit être limitée à 2000 lb, quelle doit être la portée ?

Réponse

950 ft

2. Calculez la flèche pour le câble du problème 172 ci-dessus. Trouvez la force maximale dans ce câble, pour la portée et la flèche calculées, en supposant que le poids total du câble est uniformément réparti horizontalement, et comparez-la avec la force réelle.

Réponse

$133 ft; 2045 lb$

3. Un câble pesant 3 lb par ft est tendu entre deux points au même niveau distants de 1000 ft. La flèche est de 100 ft. Trouvez la tension maximale dans le câble et la longueur du câble. (Remarque : Ce problème nécessite une résolution par essais et erreurs.)

Réponse

$4050 lb; 1025 ft$

4. Une ligne de transmission doit être tendue avec un dégagement minimum de 30 ft du sol. Le fil utilisé pèse $\frac{1}{2} lb$ par ft, et la force de tension maximale admissible est de 1000 lb. Si les pylônes ont une hauteur de 40 ft, à quelle distance doivent-ils être placés ?

Réponse

398 ft

5. Un câble flexible de 300 ft de long pèse 1 lb par ft. Le câble est suspendu à deux supports au même niveau distants de 200 ft. Trouvez la flèche du câble et la force maximale dans le câble.

Réponse

$101 ft; 162 lb$

6. Dans la formule dérivée ci-dessus pour la relation entre $x$ et $y$ pour le câble en chaînette, montrez que si l'on ne conserve que les deux premiers termes du développement en série du cosinus hyperbolique, l'expression devient identique à celle trouvée pour le câble parabolique.