Câble avec charge répartie horizontalement

Supposons qu'une charge uniformément répartie d'intensité $w$ lb par pied agisse sur le câble. En se référant à la figure ci-dessus, on voit que $W=wx$, et l'équation différentielle (voir la section précédente) devient : $$\frac{dy}{dx}=\frac{wx}{F_h}$$ Cette équation peut maintenant être intégrée pour donner : $$y=\int \frac{wx}{F_h}dx+c=\frac{w{x}^2}{2F_h}+c$$ Pour trouver la constante d'intégration, nous notons que pour le système de coordonnées choisi $y=0$ lorsque $x=0$ de sorte que $c=0$, alors Ceci est l'équation d'une parabole, de sorte que nous avons montré qu'un câble flexible chargé par une charge verticale uniformément répartie prendra une forme parabolique.

D'après le diagramme des forces de la Fig. 1c, nous avons : $$F=\sqrt{F_h^2+W^2}$$ de sorte que pour la charge horizontale uniforme Il en ressort que la force horizontale $F_h$ au point le plus bas du câble est la plus petite force dans le câble, et que cette force augmente à mesure que $x$ augmente, devenant maximale au niveau de l'appui.

Dans la plupart des problèmes pratiques, nous connaîtrons la portée du câble, c'est-à-dire la distance horizontale entre les appuis, et nous souhaiterons connaître la relation entre la force maximale dans le câble et la flèche verticale du câble. Nous allons déterminer cette relation pour le cas où les deux extrémités du câble sont supportées au même niveau comme sur la Fig. 2. En utilisant le même système de coordonnées que celui utilisé pour l'établissement de l'équation (1) ci-dessus, nous notons que lorsque $x={\displaystyle \frac{l}{2}},y=f$, de sorte que nous avons d'après l'équation (1) : $$f=\frac{w{\left({\displaystyle \frac{l}{2}}\right)}^2}{2F_h};F_h=\frac{w{l}^2}{8f}$$

Ensuite, la force maximale dans le câble, au niveau de l'appui, est donnée par l'équation (2).

Une autre relation souvent nécessaire est celle entre la portée $l$, la longueur totale $S$ du câble et la flèche $f$. Dans le câble ci-dessus, la longueur serait : $$\begin{array}{c}S=2{\int }_0^{\frac{l}{2}}dS=2{\int }_0^{\frac{l}{2}}\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=2{\int }_0^{\frac{l}{2}}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx\\ S=2{\int }_0^{\frac{l}{2}}\sqrt{1+\frac{w^2{x}^2}{F_h^2}}dx\end{array}$$ D'après les tables d'intégrales, nous avons :

Afin de mettre cela sous une forme plus pratique pour le calcul, développons chaque terme en série. Les développements en série de ces fonctions sont :

En exprimant ces expressions en fonction du « rapport de flèche » $\left(\frac{f}{l}\right)$, nous avons : $$F_h=\frac{w{l}^2}{8f^2},\text{ de sorte que }\left(\frac{wl}{2F_h}\right)=4\left(\frac{f}{l}\right)$$

Ce rapport sera généralement suffisamment petit pour que les développements en série ci-dessus convergent rapidement, et seuls les premiers termes de la série doivent être conservés. Ainsi :

À partir de cette expression, la longueur du câble peut être déterminée lorsque la portée et la flèche sont connues.

6.14.1 PROBLÈMES

3. Une charge horizontale uniformément répartie de 7500 lb est supportée par un câble comme indiqué sur le schéma. Trouvez la force maximale dans le câble.

Réponse

5460 lb