The Principle of Virtual Displacements for a Free Particle

Considérons une particule libre de se déplacer dans n’importe quelle direction, et qui est maintenue en équilibre par un système général de forces dont la résultante est nulle. Sur la Fig. 1, l’une des forces du système,

𝐅

, est représentée, avec ses trois composantes rectangulaires.

Nous imaginons maintenant que l’on impose à la particule un déplacement infinitésimal arbitraire $δ 𝐬$ . Ce déplacement est arbitraire dans le sens où il peut s’effectuer dans n’importe quelle direction.

Nous calculons ensuite le travail $δ W$ effectué par la force $𝐅$ au cours du déplacement $δ s$ . Ce travail $δ W$ est le produit scalaire de $𝐅$ et $δ 𝐬$ . $δ W = 𝐅 \cdot δ 𝐬 .$

Pour l’ensemble des forces du système : $δ W = \sum F \cdot δ 𝒔 .$

En écrivant cela en fonction des composantes selon un système de coordonnées rectangulaires, nous avons : où $R_{x}, R_{y}$ et $R_{z}$ sont les composantes rectangulaires de la résultante du système.

Si l’on considère le cas où les forces agissant sur la particule forment un système en équilibre, on a : $R_{x} = 0; R_{y} = 0; R_{z} = 0$ . Ainsi $δ W = 0$ , quelles que soient les valeurs de $δ x, δ y, δ z$ .

Nous examinons ensuite les conditions dans lesquelles l’énoncé réciproque est vrai, c’est-à-dire les conditions sous lesquelles l’affirmation $δ W = 0$ est à la fois nécessaire et suffisante pour l’équilibre du système. On verra que le seul cas où $δ W = 0$ ne suffirait pas à assurer l’équilibre serait celui où l’une des composantes du déplacement serait nulle. Si, par exemple, $δ x \neq 0; δ y \neq 0; δ z = 0$ alors $δ W$ pourrait être nul en présence d’une composante de force $F_{z}$ . Si cependant, dans notre définition du déplacement $δ s$ , nous exigeons que $δ x, δ y$ et $δ z$ soient toutes différentes de zéro, ce que nous sous-entendons par le mot « arbitraire », alors l’expression $δ W = 0$ devient à la fois nécessaire et suffisante pour l’équilibre d’une particule.

Nous définissons donc un déplacement virtuel d’une particule libre comme tout déplacement arbitraire, infinitésimal, pour lequel $δ x, δ y$ et $δ z$ sont différents de zéro. Nous utilisons la notation $δ 𝐬$ au lieu de $d 𝐬$ pour indiquer que le déplacement est arbitraire et peut s’effectuer dans n’importe quelle direction.

Le principe des déplacements virtuels¹ stipule ainsi que la condition d’équilibre d’une particule libre est que le travail effectué lors de tout déplacement virtuel de la particule doit être égal à zéro. $δ W = \sum (F_{x} δ x + F_{y} δ y + F_{z} δ z) = 0$ La grandeur $δ W$ est appelée le travail virtuel du système, et le principe ci-dessus est souvent appelé « principe du travail virtuel ».

Ce principe des déplacements virtuels est parfois appelé dans certains ouvrages le principe des « vitesses virtuelles ». L’application de la méthode serait évidemment la même, que l’on conçoive de donner aux différents points du système certaines vitesses ou certains déplacements, car les rapports entre les vitesses des différents points seraient les mêmes que les rapports entre les déplacements de ces points.↩︎