Le principe des déplacements virtuels pour une particule contrainte

Dans de nombreux cas, la particule considérée ne sera pas complètement libre, mais sera contrainte par diverses liaisons à se déplacer d'une manière déterminée. Par exemple, la particule pourrait être une perle glissant le long d'un fil, auquel cas la contrainte géométrique serait que la particule doit suivre le fil. Dans un autre cas, la particule pourrait être obligée de rester sur une surface particulière, comme sur la Fig. 1a. Dans tous ces cas, la contrainte a pour effet d'introduire dans le problème une force réactive qui impose la contrainte.

La Fig. 1b montre le diagramme de corps libre de la particule. Les forces actives dans ce cas ont été supposées être le poids dans le cas d'un contact sans frottement. Une telle contrainte normale, correspondant à des surfaces sans frottement en contact, est appelée une contrainte idéale, et nous limiterons notre discussion, dans les pages suivantes, à de telles contraintes idéales.

Dans le cas d'une particule contrainte, il sera nécessaire de modifier quelque peu notre définition d'un déplacement virtuel, car il est clair que certains déplacements, tels que ceux normaux à une surface de contrainte, ne seront pas possibles. Dans un tel cas, le déplacement virtuel ne peut pas être un déplacement arbitraire, mais doit être restreint aux déplacements qui sont permis par les contraintes. Nous définissons ainsi un déplacement virtuel comme un déplacement infinitésimal de la particule qui est compatible avec les contraintes. Le mot « virtuel » acquiert donc la signification du mot « possible », en ce qu'il représente tous les déplacements infinitésimaux qui sont cohérents avec la géométrie du système. On verra que cette définition plus générale d'un déplacement virtuel inclut la définition donnée pour une particule libre comme cas particulier.

L'équation exprimant le principe des déplacements virtuels peut maintenant s'écrire comme suit, où nous avons séparé les forces en deux types, les forces actives $𝐅$ et les forces réactives idéales $𝐅_{r}$ : $\sum [(F_{x} + F_{x r}) δ x + (F_{y} + F_{y r}) δ y + (F_{z} + F_{z r}) δ z] = 0$

Cette équation représentera toujours les conditions d'équilibre sous notre nouvelle définition d'un déplacement virtuel. Dans le cas d'une surface de contrainte, par exemple, de tels déplacements virtuels se situeraient dans un plan tangent à la surface. Notre équation interdirait alors toute force résultante dans ce plan, tandis que la contrainte elle-même assure que les forces normales au plan s'équilibrent.

Nous écrivons ensuite l'équation ci-dessus sous la forme suivante : $\sum (F_{x} δ x + F_{y} δ y + F_{z} δ z) + \sum (F_{x r} δ x + F_{y r} δ y + F_{z r} δ z) = 0$ et nous notons que le groupe de termes contenant les forces réactives $F_{x r}$ , etc., disparaîtra, puisque les forces seront dans tous les cas normales aux déplacements, et ne produiront donc aucun travail. Cela sera toujours vrai, car la réaction idéale est normale à la surface de contrainte, et le déplacement virtuel est parallèle à la surface de contrainte. Notre équation devient ainsi : $\sum (F_{x} δ x + F_{y} δ y + F_{z} δ z) = 0$ où $F_{x}, F_{y}$ et $F_{z}$ sont les forces actives du système.

Nous pouvons donc énoncer le principe des déplacements virtuels pour une particule contrainte comme : Le travail effectué par les forces actives du système lors de tout déplacement arbitraire du système compatible avec les contraintes est égal à zéro.