The Principle of Virtual Displacements for a System of Particles

Le principe des déplacements virtuels peut être étendu directement pour inclure les corps rigides, qui peuvent être considérés comme des systèmes de particules. Il y aura des forces entre les diverses particules formant le corps, de nature telle que les distances entre les particules resteront fixes. Cependant, ces forces internes se produiront toujours en paires égales et opposées, de sorte que le travail total effectué par elles pendant tout mouvement du corps entier en tant que corps rigide sera égal à zéro.

Considérons le cadre rigide représenté sur la Fig. 1a, supporté par un pivot sans frottement en $O$, et soumis aux trois forces externes ${𝐅}_1$, ${𝐅}_2$ et ${𝐅}_3$, qui maintiennent le système en équilibre.

Sur la Fig. 1b, toutes les forces impliquées dans le système sont représentées. On verra qu'elles sont de trois types : d'abord, les forces externes actives ${𝐅}_1$, ${𝐅}_2$ et ${𝐅}_3$ ; ensuite, les forces internes dans les barres rigides, qui se produisent par paires égales et opposées ; et enfin, la force de réaction au pivot $O$, représentée par deux composantes rectangulaires. Si maintenant nous imaginons le déplacement virtuel du système, tel qu'illustré sur la Fig. 1c, où l'ensemble du cadre a été tourné d'un petit angle autour de $O$, nous verrons que les forces du deuxième et du troisième type effectueront un travail nul, que le système soit en équilibre ou non, de sorte que pour la condition d'équilibre, nous n'avons besoin de considérer que le premier type de force, et écrire $$\sum (F_x\delta x+F_y\delta y+F_z\delta z)=0$$ où $F_x,F_y$ et $F_z$ sont les composantes des seules forces actives, et le signe de sommation indique que toutes ces forces actives doivent être incluses. Nous pouvons donc énoncer en général, pour tout système constitué de liaisons sans frottement et de barres rigides, que la condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre du système est que le travail total effectué par toutes les forces actives du système, lors de tout déplacement infinitésimal arbitraire du système compatible avec les liaisons, soit égal à zéro. C'est l'énoncé le plus général du principe des déplacements virtuels.

D'après les exemples donnés ci-dessus, et ceux qui suivront, on verra que l'avantage particulier du principe des déplacements virtuels se réalise dans les problèmes où l'on s'intéresse uniquement à la relation d'équilibre entre les forces actives du système et où l'on ne cherche pas à calculer les valeurs des réactions ou des forces internes. Cela ne signifie pas que le principe des déplacements virtuels ne peut jamais être utilisé pour déterminer les réactions. Il est souvent possible de choisir le système de forces à déterminer de telle sorte que les forces réactives puissent être traitées comme des forces actives et puissent, par conséquent, être traitées par les méthodes décrites ci-dessus.

Exemple 1. Une barre rigide, sans poids, repose contre deux murs sans frottement comme le montre la Fig. 2. Elle est maintenue en équilibre par deux forces $F_1$ et $F_2$ parallèles au mur. Quelle est la relation entre $F_1$ et $F_2$ dans la position indiquée ?

Solution. Un déplacement du système compatible avec les liaisons est montré sur la Fig. 3. D'après la géométrie du système, nous avons $x^2+y^2=l^2$, où $l$ est une constante ; nous pouvons trouver la relation entre $\delta x$ et $\delta y$ en différentiant : D'après le principe des déplacements virtuels, nous avons : où nous omettons le signe négatif puisque nous en avons déjà tenu compte en considérant que le travail effectué par $F_2$ est négatif.

Nous sommes ainsi directement parvenus à la relation entre $F_1$ et $F_2$ sans considérer ni calculer les réactions $N_1$ et $N_2$. Si nous avions résolu le problème par nos équations d'équilibre précédentes, nous aurions inclus $N_1$ et $N_2$ dans les équations et les aurions ensuite éliminées algébriquement. Il convient toutefois de se rappeler que, dans de nombreux problèmes, il sera tout aussi important de déterminer les réactions que les forces actives.

Exemple 2. Trouver la relation d'équilibre entre la force $F_1$, provenant de la pression des gaz dans le cylindre du moteur, et le couple $M$ autour du palier du vilebrequin $O$ (Fig. 4).

Solution. Les forces actives dans le système sont $F_1$ et $F_2$, la force normale à la manivelle $OA$. Un déplacement virtuel du système est montré en (c), qui implique une rotation de la manivelle autour de $O$ et une translation du piston.

D'après le principe des déplacements virtuels, nous avons : de sorte que $$M=F_1\frac{\delta x}{\delta \varphi }$$ Si nous prenons les déplacements comme infinitésimaux, nous avons : $$M=F_1\frac{dx}{d\varphi }$$ Nous pouvons trouver la relation entre $x$ et $\varphi$ à partir de considérations géométriques sous la forme : $$x=f(\varphi )$$ de sorte que la dérivée pourrait être trouvée, et la relation entre $M$ et $F_1$ serait ainsi connue.

Exemple 3. Une force de compression $P$ est appliquée au moyen d'une presse à vis comme le montre la Fig. 5. La vis est tournée par une force $F$ à une distance $a$ de l'axe. Le pas du filet de la vis est $b$, où par pas nous entendons la distance dont le filet avancerait pour un tour complet de la vis. Trouver la relation entre $F$ et $P$.

Solution. Nous prenons comme déplacement virtuel du système une petite rotation $\delta \theta$ de la vis. La vis avancerait alors d'une distance $\frac{b}{2\pi }(\delta \theta )$. D'après le principe des déplacements virtuels, nous avons directement :

Exemple 4. Un poids $W$ doit être soulevé au moyen d'une force $F$ appliquée au système de deux poulies égales montré sur la Fig. 6. Trouver la relation entre $F$ et $W$ pour les conditions d'équilibre.

Solution. Comme déplacement virtuel du système, prenons un petit mouvement vertical du point $A$ vers le bas, $\delta y$. Alors le point $B$ sera soulevé de la quantité ${\displaystyle \frac{\delta y}{2}}$, et le principe des déplacements virtuels donne :