Frottement sec

Considérons un bloc reposant sur un plan, comme illustré à la Fig. 1. Nous supposons que les surfaces en contact sont propres et sèches, et qu'aucune substance lubrifiante n'est présente.
Fig. 1
Si nous appliquons une force très petite P au bloc, notre expérience nous dit que dans des conditions ordinaires le bloc ne bougerait pas. Cela signifie qu'une force de réaction F a dû se développer aux surfaces de contact, qui équilibre exactement la force appliquée P . Cette force F est physiquement possible parce que les surfaces en contact ne sont pas parfaitement lisses et, à cause de petites irrégularités, une force de réaction ayant une composante parallèle aux surfaces peut se développer. Notre expérience nous dit en outre que si nous augmentons la charge P , nous atteindrons finalement une valeur qui fera bouger le bloc, car il ne sera plus possible d'établir une force de frottement d'une ampleur suffisante. Cette valeur maximale de la force de frottement qu'il est possible d'établir, dans un ensemble de conditions donné, est appelée le frottement limite et un système sur lequel agit cette force de frottement limite est dit en état de mouvement imminent, puisque toute augmentation supplémentaire des forces appliquées provoquerait un mouvement. La grandeur de cette force de frottement limite a été déterminée expérimentalement pour un grand nombre de types différents de surfaces de contact, et pour diverses conditions de surface de contact et de charge normale. Ces faits expérimentaux ont été regroupés dans les lois du frottement sec ou frottement de Coulomb, énoncées pour la première fois de façon complète par Coulomb.
  1. La force totale de frottement est indépendante de l'étendue de la surface en contact.
  2. La force totale de frottement est proportionnelle à la force normale.
  3. Pour de faibles vitesses de glissement, la force totale de frottement est indépendante de la vitesse et est inférieure à celle correspondant au mouvement imminent.
Ces lois sont résumées analytiquement par l'équation de définition suivante : où F = force totale de frottement parallèle aux surfaces en contact, au moment du mouvement imminent ou pendant le mouvement N = force normale totale entre les surfaces en contact μ = coefficient de frottement, qui est une constante pour des matériaux donnés Le mécanisme réel du frottement sec est complexe, de sorte que les lois ci-dessus doivent être considérées comme des approximations suffisamment précises pour la plupart des applications en ingénierie. Si la valeur de F dans l'équation ci-dessus est la valeur limite du frottement au moment du mouvement imminent, alors μ est appelé le coefficient de frottement statique. Il est important de noter que l'utilisation de ce coefficient de frottement statique donne l'amplitude maximale de la force de frottement qu'il est possible de développer entre deux surfaces sous une charge normale donnée et ne donne pas nécessairement la force de frottement réelle présente, qui peut être inférieure à cette limite maximale possible. Le tableau suivant donne quelques valeurs du coefficient de frottement statique qui peuvent être obtenues dans diverses conditions. Il n'est possible d'indiquer qu'une plage de valeurs dans un tel tableau, car l'état de surface joue un rôle important dans le processus. Il convient de souligner que si des déterminations plus exactes des forces de frottement sont nécessaires pour une application spécifique, il faudra généralement déterminer expérimentalement le coefficient de frottement statique dans des conditions aussi proches que possible de l'application réelle.
Coefficients de frottement statique
Bois sur bois0.25–0.50
Métal sur bois0.20–0.60
Métal sur métal0.15–0.30
Métal sur cuir0.30–0.60
Bois sur cuir0.25–0.50
Dans le cas où il y a un mouvement de glissement entre les corps, on utilise le coefficient de frottement cinétique pour déterminer la force de frottement. Ce coefficient de frottement cinétique dépend toutefois tellement de la vitesse, de la présence de matériaux pouvant agir comme lubrifiant, etc., qu'il n'est pas possible de donner des valeurs même approximatives sous forme de tableau. Puisque la relation entre la force de frottement statique sec et la force normale est connue une fois que le coefficient de frottement statique est connu, l'angle entre la normale et la force de réaction totale à la surface de contact peut être déterminé. La relation entre cet angle de frottement et le coefficient de frottement est illustrée à la Fig. 2 : tan ⁡ ϕ = F N = μ . Cet angle de frottement détermine la direction de la force de réaction résultante.
Fig. 2
Il existe deux types de problèmes impliquant le frottement sec qui se rencontrent couramment en statique. Dans le premier type, l'une des conditions du problème physique est que le mouvement est imminent et la relation entre les forces est requise. Pour de tels problèmes, on sait que les forces de frottement statique maximales existent, de sorte que la relation entre les forces de frottement et les forces normales est directement donnée par le coefficient de frottement statique. Dans l'autre type de problème, les forces agissant sur le système sont données et l'on veut savoir si les forces de frottement peuvent maintenir l'équilibre du système. Comme dans ce cas des forces de frottement inférieures au maximum peuvent suffire à maintenir l'équilibre, on ne sait pas que les forces de frottement sont données par la force normale multipliée par le coefficient de frottement statique. Dans ce cas, l'approche habituelle consiste à déterminer le coefficient de frottement statique nécessaire pour maintenir l'équilibre. En comparant ensuite ce coefficient calculé au coefficient possible pour le problème donné, on peut déterminer si l'équilibre sera possible ou non.
Exemple 1. Un bloc de poids W repose sur un plan incliné (Fig. 3). Le coefficient de frottement statique entre le bloc et le plan est μ . Trouver l'angle α pour un mouvement imminent le long du plan vers le bas.
Fig. 3
Solution. En traçant un diagramme de corps libre (Fig. 4) et en prenant le système de coordonnées parallèle et normal au plan, nous avons pour l'équilibre :
Fig. 4
Puisque le mouvement est imminent F = μ N donc F N = tan ⁡ α = μ ou, puisque μ = tan ⁡ ϕ où ϕ = est l'angle de frottement α = ϕ L'angle α est appelé l'angle de repos.
Exemple 2. Une charge P est portée par une console qui coulisse sur un élément vertical comme illustré à la Fig. 5. À quelle distance x du support la charge doit-elle être placée pour que le mouvement soit imminent ? Négliger le poids de la console et supposer qu'il y a frottement sec entre la console et le support avec un coefficient de frottement statique égal à 0,25.
Fig. 5
Solution. En traçant un diagramme de corps libre (Fig. 6) et en écrivant les équations d'équilibre, nous avons :
Fig. 6
Puisque le mouvement est imminent, nous avons aussi : D'où : En utilisant la notion d'angle de frottement, une solution graphique de ce problème peut être obtenue. Si les forces de réaction sont représentées dans leurs directions appropriées, plutôt que sous forme de deux composantes, le système de forces sera constitué de trois forces coplanaires non parallèles, qui doivent être concourantes si elles sont en équilibre (Fig. 7).
Fig. 7
Exemple 3. Le bloc W 1 pèse 100 lb et le bloc W 2 pèse 50 lb (Fig. 8). Le coefficient de frottement statique entre le bloc supérieur et le bloc inférieur est de 0,35, et entre le bloc inférieur et le plan horizontal est de 0,1. Une force horizontale de 20 lb agit sur le bloc supérieur comme indiqué sur le schéma. Trouver la force dans le câble A B pour l'équilibre du bloc inférieur.
Fig. 8
Solution. Comme nous ne savons pas si le bloc supérieur est en équilibre ou si son mouvement est imminent, nous ne pouvons pas écrire immédiatement les équations d'équilibre. Nous devons d'abord vérifier si l'équilibre est possible ou si le bloc supérieur va se déplacer. Calculons le coefficient de frottement statique qui suffirait juste à maintenir le bloc supérieur en équilibre, c'est-à-dire celui qui correspond au mouvement imminent. On verra que s'il n'y avait pas de force de frottement, le bloc supérieur descendrait le long du bloc inférieur, de sorte que nous aurions un mouvement imminent vers le bas.
Fig. 9
Puisque ce frottement nécessaire à l'équilibre est inférieur à celui qui est effectivement présent, nous savons que l'équilibre existe. De plus, le mouvement n'est pas imminent et la valeur calculée de la force de frottement (32.7 lb) est la valeur réelle existante, bien qu'elle ne soit pas la valeur maximale qui pourrait exister.
Fig. 10
De même, pour l'analyse du bloc inférieur, nous avons les diagrammes de corps libre montrés à la Fig. 10. Le mouvement du bloc inférieur pourrait être imminent dans les deux sens, et le système serait quand même en équilibre. Il y aura ainsi une plage de valeurs de la force T pouvant maintenir l'équilibre. En supposant le mouvement imminent vers la gauche, nous avons, en considérant le diagramme de corps libre de l'ensemble du corps : En supposant le mouvement imminent vers la droite, nous avons : Ainsi, toute valeur de T entre 5 et 35 lb maintiendra le système en équilibre. Pour les valeurs intermédiaires, le mouvement ne sera pas imminent et l'amplitude de la force de frottement ne sera pas sa valeur maximale possible, mais celle nécessaire à l'équilibre.

5.1.1 PROBLÈMES

1. Une échelle pesant 75 lb est appuyée contre un mur vertical en faisant un angle de 30 ∘ avec le mur. Si le coefficient de frottement statique entre l'échelle et le mur et le sol est de 0,25, jusqu'à quelle distance le long de l'échelle un homme de 160 lb peut-il monter sans que l'échelle ne glisse ?
Réponse 0.45 l
2. Une plaque de 2 pouces d'épaisseur doit être laminée entre deux rouleaux de 24 pouces de diamètre. Si le coefficient de frottement cinétique entre les rouleaux et le métal chaud est de 0,15, quel est l'espacement minimum a entre les rouleaux pour que les forces exercées sur la plaque par les rouleaux au premier contact soient orientées de manière à tirer la plaque dans les rouleaux ?
 
Réponse1.73 in
3. Une barre ronde chargée d'un poids de 1000 lb passe à travers une plaque et est soutenue au moyen d'une « clavette transversale » passant par une fente dans la barre ronde. En supposant que le coefficient de frottement statique entre la clavette et la barre, entre la clavette et la plaque, et entre la barre et la plaque, est de 0,25, trouver l'angle maximal α pour lequel le dispositif est autobloquant, c'est-à-dire pour lequel la charge ne force pas la clavette à sortir de la fente.
 
Réponse α = tan − 1 ⁡ ( 8 15 )
4. Si l'angle α de la clavette du problème 120 ci-dessus est de 12 ∘ , trouver la force nécessaire pour retirer la clavette de la fente.
Réponse286 lb
5. Un type d'embrayage à roue libre est illustré dans la figure. Si l'élément intérieur tourne dans le sens antihoraire, les galets sont coincés entre les surfaces inclinées et entraînent ainsi l'élément extérieur. Si l'élément intérieur tourne dans le sens horaire, les galets sont libérés et n'entraînent pas l'élément extérieur. La situation pour chaque galet est approximativement celle illustrée dans le diagramme suivant.
 
Si l'angle entre les deux surfaces est trop grand, comme en (a), le galet sera simplement poussé le long de la surface inférieure. Si l'angle est trop petit, comme en (b), le galet se coincera entre les deux surfaces et sera difficile à libérer. Si le coefficient de frottement statique pour les galets et surfaces en acier trempé est de 0,08, trouver l'angle maximal α qui pourrait être utilisé pour un tel embrayage.
 
Réponse
6. Un bloc de poids W repose sur un plan horizontal rugueux et est chargé par une force F faisant un angle θ avec l'horizontale. Montrer que la valeur minimale de F est requise pour un mouvement imminent lorsque l'angle θ est égal à l'angle de frottement.
 
7. Un insecte grimpe le long de la paroi d'une coupe hémisphérique. Si le coefficient de frottement statique entre les pattes de l'insecte et la coupe est de 0,30, à quelle hauteur l'insecte peut-il grimper ?
Réponse 0.043 R
8. Une force P est appliquée à l'une des poignées d'un tiroir. En supposant que les réactions sont concentrées aux points A et B , trouver la distance maximale a jusqu'à laquelle le tiroir pourrait être ouvert en tirant, pour un coefficient de frottement statique μ donné. Négliger le frottement sur le fond du tiroir.
 
Réponse

a = h 2 μ

9. Un bloc rectangulaire uniforme de dimensions 4 po par 4 po par 10 po repose sur une planche horizontale, la grande dimension étant perpendiculaire à la planche. Le coefficient de frottement statique entre le bloc et la planche est de 0,25. Si la planche est progressivement inclinée selon un angle croissant, le bloc va-t-il glisser ou basculer ?

Réponse

Glissement

10. Une charge P doit être soulevée par un système de cales chargé par des forces F comme indiqué sur le schéma. Si le coefficient de frottement statique est de 0,25 pour toutes les surfaces en contact, trouver la relation entre F et P pour soulever la charge et pour descendre la charge. Le système est-il autobloquant ; c.-à-d., si les forces F sont supprimées, la charge P est-elle soutenue ?

 
Réponse

Pour soulever, F = 0.348 P ; autobloquant