Frein à bande ou friction de courroie

Un autre type de problème de frottement se rencontre fréquemment dans la conception de machines lorsqu'un élément flexible tel qu'une bande de frein, un câble ou une courroie passe sur ou s'enroule autour d'un cylindre. Trois cas typiques sont illustrés à la Fig. 1.

En (a), une courroie est représentée passant autour de deux poulies. S'il n'y avait pas de frottement entre la poulie et la courroie, les forces $F_{1}$ et $F_{2}$ seraient égales, et il n'y aurait aucun couple résultant sur la poulie, donc aucune puissance transmise. En (b), un poids $W$ est supporté par un câble enroulé autour d'un tambour. S'il n'y avait pas de frottement entre le câble et le tambour, la force $F$ devrait être égale à $W$ pour l'équilibre. En utilisant le frottement, cependant, $W$ peut être supporté avec une force $F$ beaucoup plus petite. En (c), une poulie en rotation est freinée au moyen d'une bande de frein circonférentielle qui est serrée à l'aide du système de levier et de la force $P$ . En raison du frottement entre la bande de frein et la poulie, un couple agit sur la poulie pour la ralentir ou la maintenir au repos.

Dans les exemples précédents, on verra que n'importe quelle condition de repos, de mouvement relatif ou de mouvement imminent peut exister. On suppose que le coefficient de frottement dans l'analyse suivante a été pris comme celui approprié aux conditions particulières.

Dans la Fig. 2, nous montrons une portion d’une courroie ou d’une bande de frein, et nous supposons qu’un mouvement relatif est soit présent soit imminent, de sorte que nous pouvons dire $d F = μ d N$ , où $μ$ est supposé constant. L’arc de contact total de la bande est $α$ , et $d θ$ est l’angle infinitésimal sous-tendu par l’élément de courroie représenté sur le diagramme de corps libre de la Fig. 2b. En écrivant les équations d’équilibre pour cet élément, nous avons : En posant $\cos \frac{d θ}{2} \approx 1, \sin \frac{d θ}{2} \approx \frac{d θ}{2}$ et en négligeant les différentielles du second ordre, cela devient : En éliminant $d N$ : En intégrant cette équation sur tout l’arc de contact, nous obtenons :

Remarquez que pour utiliser la formule ci-dessus, $α$ doit être mesuré en radians.

Exemple. Quelle est la force minimale $P$ nécessaire pour supporter la charge $W$ par le câble comme illustré à la Fig. 3? Le coefficient de frottement statique entre le câble et le cylindre non rotatif est de 0.3.

Solution. La force minimale $P$ sera requise lorsque le mouvement vers le bas de $W$ est imminent ; donc le coefficient de frottement statique s'applique et $μ = 0.3$ . L'arc de contact $α$ est de $180^{\circ}$ ou $π$ radians de sorte que :

5.7.1 PROBLÈMES

1. En se référant à la Fig. 1b, combien de fois le câble doit-il être enroulé autour du cylindre pour qu'une charge $W$ de 1000 lb puisse être supportée par une force $F$ de 25 lb ? Supposons un coefficient de frottement statique de 0.25.

Réponse

2.35 tours

2. Montrez que le couple de frottement $M_{f}$ d'une bande de frein, en fonction de la force maximale dans la bande $F_{1}$ , est donné par l'expression suivante : $M_{f} = F_{1} r (\frac{e^{μ α} - 1}{e^{μ α}})$

3. Une poulie de levage est rainurée comme le montre la figure. Déduisez la relation entre les brins tendu et lâche du câble, et comparez avec le cas de la poulie plate.

Réponse

$\frac{F_{1}}{F_{2}} > e^{\frac{μ α}{(\sin \frac{β}{2} + μ \cos \frac{β}{2})}}$

4. Quelle force de freinage $P$ est nécessaire pour exercer un moment de frottement de 1000 in.-lb afin d'empêcher la rotation horaire du tambour illustré dans la figure ? L'angle de contact est de $200^{\circ}$ et le coefficient de frottement statique est de 0.2. Quelle serait la force requise si le mouvement imminent du tambour était antihoraire ?

Réponse

$222 lb, 111 lb$

5. Dans un frein à bande différentiel, le bras de levier est disposé de telle sorte que le brin tendu de la bande aide la force d'actionnement tandis que le brin lâche s'y oppose. Montrez qu'un tel mécanisme peut être réalisé de manière à permettre la rotation du tambour dans un seul sens, tout en se verrouillant automatiquement dans l'autre sens. Un tel dispositif est fréquemment utilisé sur les palans pour empêcher la charge de tomber sous son propre poids.