Filetages

Un élément de machine couramment utilisé dans lequel le frottement joue un rôle important est le filetage. De tels dispositifs sont utilisés pour diverses fixations, pour transférer le mouvement et pour exercer des forces importantes. Nous allons étudier un cric à vis, comme montré sur la Fig. 1a.

Nous considérons d'abord le cas où la charge axiale $P$ est soulevée au moyen du moment appliqué $M=Qa$. Sur la Fig. 1b, les forces agissant sur le filetage sont montrées. En réalité, ces forces exercées sur le filetage par l'écrou sont réparties tout autour du filetage et généralement sur plusieurs filets. Nous montrons sur le diagramme uniquement les forces agissant sur un élément typique de l'écrou. Nous limitons également notre traitement à un filet carré ; ainsi les forces se situent toutes dans des plans parallèles à l'axe de la vis. Sur la Fig. 1c, on peut voir qu'un filetage est simplement un plan incliné enroulé autour d'un cylindre. Le rayon moyen du filet, auquel les forces sont supposées agir, est $r$ et la distance dont le filet avance en un tour – le pas de la vis – est $p$.

Ensuite, à partir du diagramme de corps libre de la Fig. 1b : En divisant par $\cos \alpha$ et en posant $\mu =\tan \varphi$, cela devient $$M=\mathrm{Pr}\left(\frac{\tan \varphi +\tan \alpha }{1-\tan \varphi \tan \alpha }\right)=\mathrm{Pr}\tan (\varphi +\alpha )$$ Si la charge $P$ doit être abaissée au lieu d'être soulevée, la direction de la force de frottement change, et l'expression du moment devient $$M=Pr\tan (\varphi -\alpha )$$ Il est souhaitable de concevoir un cric à vis de sorte qu'il soit autobloquant. Nous entendons par là que, si nous sommes en train de soulever une charge et que nous arrêtons ensuite d'appliquer la force, nous ne voulons pas avoir à maintenir le levier, c'est-à-dire à appliquer un moment, pour empêcher la charge de descendre. La condition d'autoblocage est donc que le moment nécessaire pour abaisser la charge doit rester positif. D'après la formule précédente pour le moment nécessaire pour abaisser la charge, on verra que si l'angle d'hélice $\alpha$ est inférieur à l'angle de frottement $\varphi$, la vis sera autobloquante.

Une vis qui n'est pas autobloquante est dite « réversible » (overhauling). Un système vis-écrou réversible peut être entraîné dans les deux sens ; c'est-à-dire que si l'écrou est déplacé en translation, la vis tournera.

Si une vis doit être utilisée comme élément moteur, la puissance perdue dans la machine à cause du frottement peut devenir un chiffre relativement important, et le rendement de la vis acquiert de l'importance.

Le rendement d'une machine est défini comme le rapport de la sortie à l'entrée. Pour le problème du cric à vis discuté ci-dessus, l'entrée peut être calculée à partir du couple nécessaire pour soulever la charge, et la sortie à partir de la grandeur de la charge soulevée. Si nous supposons que la vis tourne à $\omega \mathrm{rad}/\mathrm{s}$, alors la puissance d'entrée est égale à $M\omega \mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}/\mathrm{s}$, si $M$ est le moment appliqué en $\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$. La vitesse à laquelle la charge est soulevée, si la vis tourne à $\omega \mathrm{rad}/\mathrm{s}$ est (voir Fig. 1c) : $$\begin{array}{c}v=\frac{p\mathrm{ft}/\mathrm{rev}}{2\pi \mathrm{rad}/\mathrm{rev}}\cdot \omega \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\frac{p\omega }{2\pi }\frac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}}\\ v=r\omega \tan \alpha \end{array}$$ d'où la puissance de sortie est : $$Pr\omega \tan \alpha$$ et Cette même conclusion peut être atteinte d'un point de vue différent en notant que le rendement peut également être défini comme le rapport du couple qui serait nécessaire pour soulever la charge s'il n'y avait pas de frottement au couple qui est effectivement nécessaire.

Si nous traçons le rendement de la vis en fonction de l'angle d'hélice $\alpha$, nous trouvons que la courbe a un point maximum défini, comme on peut le voir sur la Fig. 2.

5.6.1 PROBLÈMES