Liaison complète d'un corps rigide dans l'espace

Nous considérons maintenant le nombre total de liaisons ou d’éléments de support nécessaires pour contraindre complètement un corps rigide dans l’espace.

Considérons le corps représenté sur la Fig. 1. Sur la Fig. 1a, un point du corps, $O$, a été fixé dans l’espace au moyen de trois barres rigides articulées comme indiqué.

Trois barres non coplanaires sont nécessaires, sinon un mouvement du point normal au plan des barres peut se produire. Avec la contrainte représentée sur la Fig. 1a, tout point du corps est libre de se déplacer sur une surface sphérique ayant $O$ pour centre. Sur la Fig. 1b, un autre point $A$ a été contraint. Ceci peut être réalisé par deux barres dont le plan est normal à l’une des barres en $O$, comme indiqué. Le seul mouvement restant possible du corps est une rotation autour de l’axe $OA$, qui peut être empêchée au moyen d’une barre articulée ne coupant pas l’axe $OA$. Ceci pourrait être fait, par exemple, par la barre représentée en $B$ sur la Fig. 1c. On voit ainsi que six éléments contraignent complètement le corps dans l’espace. Il n’est pas nécessaire de disposer les éléments exactement comme sur la Fig. 1c. Sur la Fig. 1d, par exemple, une autre disposition des six barres est montrée, qui atteint le même objectif. On constatera cependant qu’une contrainte complète ne peut être obtenue avec moins de six éléments pour le système spatial général. On verra que cela est généralement vrai, car pour l’équilibre, les six composantes des forces connues (trois composantes de force et trois composantes de couple) doivent être équilibrées par six composantes égales et opposées des forces de contrainte. Il n’est pas vrai, cependant, que six éléments quelconques suffisent à assurer la contrainte, car les relations entre les supports peuvent être telles qu’un mouvement puisse se produire. Si toutes les barres, par exemple, étaient parallèles ou disposées dans des plans parallèles, un mouvement pourrait se produire normalement au plan. De même, si les axes des six barres pouvaient être coupés par une même droite, il y aurait possibilité de rotation autour de cette droite.

À partir de considérations comme celles ci-dessus, on peut montrer que la condition nécessaire et suffisante pour la contrainte complète d’un corps rigide dans l’espace est qu’il soit supporté par six barres articulées, ou une structure équivalente, dont les lignes d’action ne peuvent pas être coupées par une même droite. Cette condition inclut le cas des barres parallèles, dont les lignes d’action peuvent être dites se couper sur une même droite à l’infini.

Si d’autres barres sont utilisées pour supporter le corps, en plus de celles nécessaires à la contrainte complète, ces supports supplémentaires sont appelés liaisons redondantes. Puisque six équations statiques peuvent être écrites pour le système de forces général, il apparaîtra que les forces de contrainte pour un corps chargé de manière quelconque peuvent toujours être déterminées à partir des équations de la statique, pourvu qu’il n’y ait pas de liaisons redondantes. Cette situation, dans laquelle il n’y a pas de liaisons redondantes, est appelée une contrainte statiquement déterminée du corps, tandis que l’ajout de liaisons redondantes rend le problème statiquement .

On trouvera que les mêmes conclusions s’appliquent à tous les systèmes de forces plus simples. Dans chaque cas, le nombre de supports nécessaires à la contrainte complète est égal au nombre d’équations statiques qui peuvent être écrites pour le système.