Conditions d'équilibre

Si le système de forces général doit être en équilibre, la force résultante et le couple résultant doivent tous deux être nuls, et les conditions d'équilibre deviennent :

Il est généralement pratique de décrire le système de forces dans un système de coordonnées rectangulaires. Comme le vecteur force et le vecteur couple ne peuvent être nuls que si leurs trois coordonnées rectangulaires sont nulles, les équations générales d'équilibre deviennent : $$\{\begin{array}{r}\sum F_x=0\\ \sum F_y=0\\ \sum F_z=0\\ \sum M_x=0\\ \sum M_y=0\\ \sum M_z=0\end{array}$$

Comme il faut trois quantités pour spécifier le vecteur force dans n'importe quel système de coordonnées, et trois autres pour spécifier le vecteur couple, il y a six équations indépendantes disponibles pour exprimer les conditions d'équilibre. Pour un système de forces en équilibre, la somme des forces le long d'un axe arbitraire est nulle, et la somme des moments autour d'un axe arbitraire est nulle, de sorte que l'on peut écrire un nombre quelconque d'équations valides. Cependant, toutes ces équations ne seront pas indépendantes. Pour tout système de forces particulier, le nombre d'équations d'équilibre indépendantes que l'on peut écrire est égal au nombre de quantités qu'il faut donner pour spécifier complètement la résultante du système de forces. La connaissance du nombre d'équations indépendantes que l'on peut écrire pour un système particulier est importante car cela spécifie le nombre maximum de quantités inconnues qui peuvent être déterminées par les équations d'équilibre.

Le nombre d'équations indépendantes disponibles pour les différents systèmes de forces est :

1. Le système de forces tridimensionnel général. Six équations indépendantes peuvent être écrites. Celles-ci peuvent être toutes des équations de moments, ou jusqu'à trois de ces équations peuvent être des équations de forces.
2. Le système concourant général. La résultante de ce système est une force unique qui nécessite trois composantes pour sa spécification complète. Il y a donc trois équations d'équilibre indépendantes. Ces équations peuvent être des équations de forces, des équations de moments, ou à la fois des équations de forces et de moments.
3. Le système coplanaire général. Trois quantités spécifieront complètement la résultante d'un système général de forces dans un plan, donc trois équations d'équilibre sont disponibles. On peut utiliser soit des équations de forces, soit des équations de moments, sauf qu'un maximum de deux équations de forces peut être écrit.
4. Le système parallèle général. Dans un système de forces parallèles dans l'espace, trois équations peuvent être écrites. Celles-ci seront généralement une équation de force et deux équations de moments.
5. Système parallèle coplanaire. Deux équations, soit une équation de force et une équation de moment, soit deux équations de moments, peuvent être écrites.
6. Système concourant coplanaire. Deux équations, soit des forces, des moments, ou des moments et des forces, peuvent être écrites.
7. Systèmes colinéaires. Une équation, soit une équation de force ou une équation de moment, peut être utilisée.

En pratique, on choisit le type d'équation et les axes le long desquels les forces doivent être sommées ou autour desquels les moments doivent être sommés, en fonction des conditions particulières du problème. Pour la plupart des problèmes, l'utilisation de certains axes conduit à des équations plus simples que l'utilisation d'autres axes possibles, de sorte qu'il faut examiner chaque problème avec soin et choisir l'ensemble d'équations le plus approprié. Les équations de moments, par exemple, peuvent souvent être simplifiées en choisissant un axe de moment qui intersecte les lignes d'action de plusieurs des forces du système. De cette manière, on peut souvent obtenir des équations ne faisant intervenir qu'une ou deux inconnues.

Exemple 1.

Exemple. Une grue constituée d'une barre rigide verticale $AD$ pivotée en $D$ est supportée par deux haubans $AE$ et $AF$ (Fig. 1).

Une charge verticale de $1000\mathrm{lb}$ est soulevée par la flèche $CG$ qui est supportée par le hauban $BG$, la configuration complète du système étant représentée sur le diagramme. Trouvez toutes les forces exercées sur la barre $AD$. Les poids des barres sont petits par rapport aux autres forces agissantes et peuvent donc être négligés dans ce problème.

Solution. Nous dessinons d'abord un diagramme de corps libre (Fig. 2) de la barre $AD$.

Les forces dans les haubans en $A$ et $B$ sont connues pour être dans la direction des haubans, et peuvent donc être tracées dans leur direction propre sur le diagramme de corps libre. La force en $C$ doit se situer dans le plan de la flèche $CG$ et du hauban $BG$, mais comme nous ne connaissons pas la direction dans ce plan, nous indiquons la force par deux composantes inconnues $C_y$ et $C_{xz}$ où $C_{xz}$ est parallèle au plan $xz$. La force en $D$ est complètement inconnue et peut être dans n'importe quelle position dans l'espace, de sorte que nous indiquons cette force par trois composantes rectangulaires $D_x,D_y$ et $D_z$. Nous remarquons maintenant que nous avons huit quantités inconnues dans le problème, alors que nous ne pouvons écrire que six équations indépendantes pour le système de forces général. Il est donc évident que nous ne pouvons pas déterminer toutes les forces à partir du diagramme de corps libre montré dans le diagramme, et nous examinons la possibilité de déterminer certaines des forces à partir d'un diagramme de corps libre d'une autre partie de la structure. Nous dessinons ensuite le diagramme de corps libre (Fig. 3) de la flèche $CG$.

Pour ce système coplanaire général, trois équations peuvent être écrites et donc les forces $C_y,C_{xz}$ et $B$ peuvent être déterminées. Ayant ainsi trouvé trois des huit éléments inconnus du diagramme de corps libre original, les six équations qui peuvent être écrites pour ce diagramme de corps libre suffiront à compléter la solution du problème.

Pour le diagramme de corps libre de la flèche $BC$, nous avons : et à partir de la première équation $$C_{xz}=525\mathrm{lb}.$$

Puisque toutes les forces sont sorties avec des signes positifs, nous savons que nous avons choisi les directions correctes pour les composantes inconnues. Notez que les forces $B$, $C_y$ et $C_{xz}$ dans le deuxième diagramme de corps libre sont égales et opposées aux forces $B,C_y$ et $C_{xz}$ dans le premier diagramme de corps libre.

Revenant maintenant au premier diagramme de corps libre et écrivant les équations dans chaque cas pour l'axe qui donnera le résultat le plus simple, nous avons : Par conséquent, $$D_y=1364\mathrm{lb}$$ Par conséquent, $$D_x=-242\mathrm{lb}$$

Puisque $D_x$ sort avec un signe négatif, nous savons que la direction a été incorrectement indiquée sur le diagramme de corps libre, et que la force est en réalité opposée à la force indiquée là.

Par conséquent,

$$D_z=140\mathrm{lb}$$ Par conséquent, $$A_2=105\mathrm{lb}$$ Par conséquent, $$A_1=394\mathrm{lb}$$

Comme équation de vérification, nous pouvons écrire :

2.1.1 PROBLÈMES

Exercice 1.

1. Deux cylindres circulaires homogènes sont supportés dans une auge comme indiqué sur la figure. Le poids de $W_1$ est de $250\mathrm{lb}$, et le poids de $W_2$ est de $750\mathrm{lb}$. Trouvez les forces exercées par $W_1$ sur $W_2$, et par les deux cylindres sur les parois et le fond de l'auge.

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Exercice 2.

2. Trois charges agissent sur une poutre simplement appuyée comme indiqué sur le diagramme. Trouvez les forces exercées sur la poutre par les deux supports. Résolvez ces forces à partir de deux équations de moments, et vérifiez au moyen d'une équation de force. Le poids de la poutre est supposé petit par rapport aux charges agissantes et est négligé. Écrivez une troisième équation de moment autour d'un point non utilisé pour les deux premières équations de moments, et montrez que cette troisième équation n'est pas indépendante, mais peut être formée à partir des deux premières équations.

Réponse

$292\mathrm{lb};208\mathrm{lb}$

Exercice 3.

3. Un poids de $100\mathrm{lb}$ est suspendu à l'extrémité d'une tige sans poids de $3\mathrm{ft}$ de long comme indiqué sur le diagramme. Trouvez l'angle $\theta$ pour l'équilibre du système. Supposez que les surfaces en contact sont sans frottement, c.-à-d., la force en $B$ est normale à la $\mathrm{tige}AC$.

Réponse

Exercice 6.

6. Un rouleau a un rayon de $18\mathrm{in}$ et un poids de $500\mathrm{lb}$. Quelle force doit être appliquée comme indiqué sur le diagramme pour juste soulever le rouleau par-dessus un obstacle de $2\mathrm{in}$ ; c.-à-d., pour réduire la réaction verticale sur le rouleau à zéro ?

Réponse

424 lb

Exercice 7.

7. Le poteau $AC$, situé dans le plan $xy$, est supporté par deux câbles horizontaux $BD$ et $BE$ comme indiqué sur la figure. Une force horizontale de 1000 lb agit à l'extrémité du poteau et fait un angle de ${30}^{\circ }$ avec le plan $xy$ comme indiqué. Trouvez la force en $A$ et les forces dans les câbles.

Réponse

$D=105\mathrm{lb}(\mathrm{T});E=1455\mathrm{lb}\text{(}\mathrm{T})$; $A=500\mathrm{lb}$