The Scalar or Dot Product

Étant donnés deux vecteurs $𝐚$ et $𝐛$ formant un angle $\theta$ (Fig. 1)¹, le produit scalaire des deux vecteurs est défini comme une grandeur scalaire ayant pour valeur $(a)(b)\cos \theta$. Le produit scalaire est donc égal à la norme d'un vecteur multipliée par la composante du second vecteur dans la direction du premier vecteur. Le produit scalaire se note $𝐚\cdot 𝐛$, avec un point entre les deux vecteurs, et on l'appelle donc souvent produit scalaire.

Le même résultat pour la grandeur du produit scalaire est obtenu que ce soit $𝐚$ multiplié par la composante de $𝐛$ dans la direction de $𝐚$, ou $𝐛$ multiplié par la composante de $𝐚$ dans la direction de $𝐛$, puisque :

$$(a)(b\cos \theta )=(b)(a\cos \theta )$$

nous pouvons donc dire :

$$𝐚\cdot 𝐛=𝐛\cdot 𝐚$$

c.-à-d. que la multiplication scalaire est commutative.

Si l'angle entre les deux vecteurs est supérieur à ${90}^{\circ }$ mais inférieur à ${270}^{\circ }$, le produit scalaire est négatif.

L'exemple le plus courant de produit scalaire en mécanique est lié au travail effectué par une force. Si une force $𝐅$ d'intensité constante a son point d'application déplacé d'un certain déplacement $𝐒$, alors le travail effectué par la force est défini comme la grandeur scalaire égale au déplacement multiplié par la composante de la force dans la direction du déplacement, d'où :

$$\text{Travail}=𝐅\cdot 𝐒$$

Nous utiliserons le concept de travail dans les chapitres suivants.