Les Caractéristiques d'un Couple

Un couple a été défini comme un système de deux forces parallèles, de même intensité mais de sens opposé. Nous allons maintenant montrer que la somme des moments des forces d'un couple est indépendante du point par rapport auquel les moments sont pris.

Considérons deux forces égales et opposées ${𝐅}_{\mathbf{1}}$ et ${𝐅}_{\mathbf{2}}$ ; ${𝐅}_{\mathbf{1}}+{𝐅}_{\mathbf{2}}=0$ (Fig. 1). Soit ${𝐫}_{\mathbf{1}}$ et ${𝐫}_{\mathbf{2}}$ des vecteurs tirés d'un point quelconque $O$ vers des points sur les lignes d'action de ${𝐅}_{\mathbf{1}}$ et ${𝐅}_{\mathbf{2}}$. $𝐚$ est le vecteur $({𝐫}_{\mathbf{2}}-{𝐫}_{\mathbf{1}})$. La somme des moments des deux forces du couple sera appelée le moment du couple et sera représentée par le vecteur $𝐂$.

$$𝐂={𝐫}_{\mathbf{1}}\times {𝐅}_{\mathbf{1}}+{𝐫}_{\mathbf{2}}\times {𝐅}_{\mathbf{2}}$$ Puisque ${𝐅}_{\mathbf{1}}=-{𝐅}_{\mathbf{2}}$, cela devient :

$$𝐂=({𝐫}_{\mathbf{2}}-{𝐫}_{\mathbf{1}})\times {𝐅}_{\mathbf{2}}=𝐚\times {𝐅}_{\mathbf{2}}$$ Puisque $O$ peut être pris comme n'importe quel point sans altérer le vecteur $𝐚$, le moment du couple est indépendant du centre par rapport auquel les moments sont pris. Le moment est donc une propriété du couple lui-même et peut être considéré comme une mesure quantitative de l'intensité du couple. Un couple est donc complètement spécifié par le vecteur couple $𝐂=𝐚\times 𝐅$. La norme du vecteur couple est égale à $(𝐅)(𝐚\sin \theta )=(𝐅)(d)$, où $d$ est la distance perpendiculaire entre les forces du couple. La direction est normale au plan contenant les deux forces et le sens correspond au sens d'avancement d'une vis à droite mise en rotation par les forces du couple.

Puisque $𝐂$ est indépendant de tout point particulier, le vecteur couple n'a pas de ligne d'action unique comme le vecteur force.

De la définition ci-dessus d'un couple en tant que vecteur, découlent directement un certain nombre de caractéristiques :

1. Deux couples sont équivalents (ont le même effet motionnel sur un corps) si leurs moments et leurs directions sont les mêmes. Les valeurs particulières de la force et du bras de moment ne sont pas significatives ; seul le produit des deux détermine l'action du couple.
2. Les forces d'un couple peuvent être tournées d'un angle quelconque dans leur plan, ou translatées à n'importe quelle position dans le plan, sans changer l'effet motionnel du couple sur un corps.
3. Les forces d'un couple peuvent être translatées dans n'importe quel plan parallèle sans changer l'effet motionnel du couple sur un corps. 

PROBLÈMES

1. Étant donné les deux couples comme montrés sur le schéma, trouver leur somme :
(a) En ajoutant directement les forces des couples et en formant ainsi un nouveau couple.
(b) En ajoutant les vecteurs couples.

réponse

$54.0\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

2. En se référant au schéma du problème précédent, trouver la somme des moments des forces du système par rapport à la droite $OP$ qui se trouve dans le plan $xz$. Faites ceci en prenant d'abord les moments directement par rapport à la droite $OP$, puis en trouvant la composante du vecteur couple résultant, tel que trouvé dans le problème précédent, le long de la droite $OP$.

réponse

$-40.1\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

3. Trouver la résultante du système de trois couples montrés sur le schéma.

réponse

$68𝐣+39𝐤$

4. Trouver le couple résultant des trois couples dans l'espace montrés sur la figure.

réponse

$28.3𝐢-104𝐣-585𝐤$

5. Six forces d'intensité égale agissent le long des arêtes d'un cube comme montré sur le schéma. Trouver la résultante du système.