Le Produit vectoriel ou en croix

La Fig. 1 montre deux vecteurs $𝐚$ et $𝐛$ , qui font un angle $θ < 180^{\circ}$ mesuré dans le plan des deux vecteurs. Le produit vectoriel $𝐚 \times 𝐛$ est défini comme un vecteur le long de la ligne $O B$ normale au plan des vecteurs $𝐚$ et $𝐛$ , avec une direction telle que, si l'on regarde dans la direction $O B$ , une rotation dans le sens horaire amène la direction de $𝐚$ vers celle de $𝐛$ . La règle de direction peut également s'énoncer en disant que la direction est celle de l'avancée d'une vis à droite tournée de $𝐚$ à $𝐛$ . La norme du produit vectoriel est définie par $(a) (b) \sin θ$ . La norme est donc égale à deux fois l'aire du triangle hachuré représenté sur la Fig. 1. En raison de la forme sous laquelle il est écrit, le produit vectoriel $𝐚 \times 𝐛$ est souvent appelé le produit en croix.

De la définition ci-dessus, on voit que le produit vectoriel dépend de l'ordre dans lequel les vecteurs sont pris. Le produit vectoriel $𝐛 \times 𝐚$ aurait la même norme que $𝐚 \times 𝐛$ , mais aurait la direction opposée, de sorte que $𝐛 \times 𝐚 = - 𝐚 \times 𝐛$ c'est-à-dire que les produits vectoriels ne sont pas commutatifs.

En écrivant le produit vectoriel sous forme de composantes, on a :

De la définition du produit vectoriel, on a les relations suivantes entre les vecteurs unitaires $𝐢, 𝐣, 𝐤$ : $𝐢 \times 𝐢 = 𝐣 \times 𝐣 = 𝐤 \times 𝐤 = 0$ $𝐢 \times 𝐣 = - 𝐣 \times 𝐢 = 𝐤$ $𝐢 \times 𝐤 = - 𝐤 \times 𝐢 = - 𝐣$ $𝐣 \times 𝐤 = - 𝐤 \times 𝐣 = 𝐢$ d'où : $𝐚 \times 𝐛 = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) 𝐢 + (a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}) 𝐣 + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) 𝐤$