The Resultant of the General Force System

On peut maintenant développer une méthode analytique générale pour déterminer la résultante de tout système de forces tridimensionnel. La méthode consiste à remplacer chaque force du système par une force équivalente passant par un point particulier et un couple. Ces forces et couples peuvent alors être facilement additionnés pour donner la force résultante et le couple résultant de l'ensemble du système. La méthode est illustrée sur la Fig. 1 où, par simplicité, seules deux forces sont représentées. La méthode est toutefois valable pour un nombre quelconque de forces.

Sur la Fig. 1a, les deux forces générales ${𝐅}_1$ et ${𝐅}_2$ sont données et le problème est de déterminer leur résultante. On décompose chaque force en une force parallèle, passant par l'origine d'un système de coordonnées rectangulaires, et un couple $𝐂$, réduisant ainsi le système à un ensemble de forces concourantes et de couples comme indiqué en (b). Chacune des forces concourantes peut être décomposée en composantes le long des trois axes de coordonnées comme en (c), et la somme de ces composantes rectangulaires donnera les composantes rectangulaires de la force résultante $𝐑$ qui peut alors être trouvée comme en (d). Les vecteurs couple peuvent être additionnés exactement de la même manière, et ainsi le système de forces général est réduit à une force et un couple donnés par : $$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2};$$$${\theta }_x={\cos }^{-1}\frac{R_x}{R},{\theta }_y={\cos }^{-1}\frac{R_y}{R},{\theta }_z={\cos }^{-1}\frac{R_z}{R}$$ où $$R_x=\sum F_x;R_y=\sum F_y;R_z=\sum F_z$$ et $$C=\sqrt{C_x^2+C_y^2+C_z^2};$$ $${\varphi }_x={\cos }^{-1}\frac{C_x}{C},{\varphi }_y={\cos }^{-1}\frac{C_y}{C},{\varphi }_z={\cos }^{-1}\frac{C_z}{C}$$ où $$C_x=\sum M_x;C_y=\sum M_y;C_z=\sum M_z$$

En pratique, il n'est pas nécessaire d'imaginer que les forces ont été décomposées en forces et couples, comme sur la Fig. 1. Puisque les forces à l'origine seront toujours parallèles aux forces correspondantes dans leur position d'origine, les composantes rectangulaires des forces dans leur système d'origine seront les mêmes que les coordonnées rectangulaires du système de forces concourantes. Dans le cas des couples, l'une des forces de chaque couple passe par l'origine et a donc un moment nul par rapport aux trois axes de coordonnées. Le moment de chacune des forces originales par rapport à l'un des axes de coordonnées sera donc égal à la composante du vecteur couple le long de cet axe. Il suffit de considérer le système de forces général dans sa position donnée, et d'écrire : $$R_x=\sum F_x;R_y=\sum F_y;R_z=\sum F_z;$$ $$R=\sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2};$$ $${\theta }_x={\cos }^{-1}\frac{R_x}{R},{\theta }_y={\cos }^{-1}\frac{R_y}{R},{\theta }_z={\cos }^{-1}\frac{R_z}{R}$$ $$C_x=\sum M_x;C_y=\sum M_y;C_z=\sum M_z;$$ $$C=\sqrt{C_x^2+C_y^2+C_z^2};$$$${\varphi }_x={\cos }^{-1}\frac{C_x}{C},{\varphi }_y={\cos }^{-1}\frac{C_y}{C},{\varphi }_z={\cos }^{-1}\frac{C_z}{C}$$

Cette méthode réduit tout système de forces tridimensionnel général à une force unique et un couple unique. Pour la plupart des problèmes, cela suffit pour réduire de tels systèmes de forces. En fait, dans la plupart des problèmes d'ingénierie, on cherche les composantes de la force et du couple le long des axes de coordonnées, de sorte qu'il n'est généralement pas nécessaire de calculer la force et le moment résultants. Un système composé d'une force et d'un couple peut toujours être décomposé en une force passant par un point particulier et un couple dont le vecteur est parallèle à la force, c'est-à-dire que le vecteur couple peut être rendu parallèle au vecteur force. L'axe le long duquel agit le vecteur force est dans ce cas appelé l'axe central du système.

L'analyse des systèmes de forces selon les lignes esquissées ci-dessus a été faite pour la première fois par Louis Poisson (1777-1859) et traitée dans ses deux principaux ouvrages, les Éléments de Statique (1803) et la Nouvelle Théorie de la Rotation des Corps (1834). Dans ces ouvrages, ainsi que d'autres contributions importantes à la dynamique, il a développé la théorie des couples et de l'axe central et, pour la première fois, a systématisé la solution des systèmes de forces généraux.

Exemple 1 Trouver la résultante du système de forces représenté sur la Fig. 2.

Solution :

Ainsi, la force résultante est le vecteur : $$𝐑=6.09𝐢+32.25𝐣+1.26𝐤\text{lb}$$

L'intensité et la direction de ce vecteur peuvent être trouvées si désiré : $$R=\sqrt{(6.09{)}^2+(32.25{)}^2+(1.26{)}^2}=32.8\text{lb}$$ $${\theta }_x={\cos }^{-1}\frac{6.09}{32.8}={\cos }^{-1}0.1852={79.3}^{\circ }$$ $${\theta }_y={\cos }^{-1}\frac{32.25}{32.8}={\cos }^{-1}0.9840={10.3}^{\circ }$$ $${\theta }_z={\cos }^{-1}\frac{1.26}{32.8}={\cos }^{-1}0.0384={87.8}^{\circ }$$

$$𝐂=121.1𝐢+38.9𝐣+44.1𝐤\text{ft-lb}$$

$$C=\sqrt{(121.1{)}^2+(38.9{)}^2+(44.1{)}^2}=135\text{ft-lb}$$

$${\varphi }_x={\cos }^{-1}\frac{121.1}{135}={\cos }^{-1}0.898={26.1}^{\circ }$$ $${\varphi }_y={\cos }^{-1}\frac{38.9}{135}={\cos }^{-1}0.288={73.3}^{\circ }$$ $${\varphi }_z={\cos }^{-1}\frac{44.1}{135}={\cos }^{-1}0.327={70.9}^{\circ }$$

La force et le couple résultants sont représentés sur la Fig. 3.

Exemple 2. Trouver la résultante du système de forces parallèles représenté sur la Fig. 4.

Solution. On note que pour tout système de forces parallèles, les forces du couple résultant peuvent être disposées parallèlement à la force résultante, et donc que le couple résultant et la force résultante peuvent toujours être résolus en une force unique ou un couple unique. Au lieu d'appliquer la méthode générale à ce problème, nous utiliserons donc le principe des moments directement pour trouver la position de la force résultante : $$R=\sum F=-10-15-10+5+20=-25\text{ lb}$$ La distance $z$ de la résultante par rapport au plan $xy$ peut être trouvée en prenant les moments par rapport à l'axe $x$ : La résultante dirigée vers le bas doit être dans une position telle qu'elle donne un moment positif par rapport à l'axe $x$. $$z=\frac{\sum M_x}{R}=\frac{25\text{ ft-lb}}{25\text{ lb}}=1\text{ ft en avant du plan }xy\text{.}$$ La distance $x$ de la résultante par rapport au plan $yz$ peut être trouvée en prenant les moments par rapport à l'axe $z$ : La résultante dirigée vers le bas doit être dans une position telle qu'elle donne un moment négatif par rapport à l'axe $z$. $$x=\frac{\sum M_z}{R}=\frac{-95\text{ ft-lb}}{-25\text{ lb}}=3.8\text{ ft à droite du plan }yz\text{.}$$ Il convient de noter qu'en général, il n'est pas possible de définir le signe d'un moment en prenant le produit du signe du bras de levier et du signe de la force.

Sur la Fig. 5, on voit deux forces $𝐅$ qui ont la même direction de moment par rapport à l'axe $x$. Dans chaque cas, la direction du moment est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre lorsqu'on regarde de l'origine vers l'extrémité positive de l'axe $x$ ; donc, d'après la règle du tire-bouchon (ou de la main droite), les moments sont négatifs. Pour la force parallèle à l'axe $y$, la force est positive et le bras de levier est positif, de sorte que le produit est positif. Pour la force parallèle à l'axe $z$, la force est négative et le bras de levier est positif, donc le produit est négatif. Il apparaîtra ainsi qu'aucune convention de signe ne donnera une cohérence totale entre les directions des forces, des bras de levier et des moments. L'utilisation de la notation vectorielle élimine toute difficulté de ce genre.

1.13.1 PROBLÈMES

1. Trois forces agissent sur une poutre comme indiqué sur le diagramme. (a) Trouver la résultante du système. (b) Décomposer cette résultante en deux composantes aux points $A$ et $B$.

Réponse

230 lb ; $F_A=141$ lb, $F_B=89$ lb

4. Trouver la résultante du système de forces représenté sur le diagramme.

Réponse

Intensité de la force = 38.2 lb

5. Trouver la résultante des trois forces concourantes représentées sur la figure.

Réponse

$29.6𝐢+23.3𝐣+22.2𝐤$

9. Trouver la résultante des forces représentées sur le diagramme.

Réponse

$268\mathrm{lb}$ ; $1414\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

10. Déterminer la résultante des forces représentées sur le diagramme. Trouver une force unique passant par le point $A$ et un couple qui, ensemble, seront équivalents au système donné.

Réponse

$160\mathrm{lb}$ ; $-179\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

11. Remplacer les trois forces représentées sur la figure par une force unique agissant par l'origine et un couple.

Réponse

$200(-0.565𝐢-0.424𝐣+0.707𝐤)$

12. Les trois forces représentées sur la figure sont $P$, $2P$, et $3P$ comme indiqué. Donner la relation algébrique entre les dimensions $x_1$, $y_1$, et $z_1$ pour qu'une force unique puisse être équivalente aux forces données.

Réponse

$6x_1+3y_1+2z_1=0$