La description analytique d'un vecteur

La description d'un vecteur à l'aide de ses composantes rectangulaires est une méthode pratique, comme nous l'avons déjà vu dans le cas particulier des vecteurs de force. Les conventions relatives à un système de coordonnées rectangulaires peuvent être vues sur la Fig. 1.

Les vecteurs unitaires $𝐢,𝐣,𝐤$ sont définis comme des vecteurs ayant des grandeurs unité et les directions des axes de coordonnées $x,y,z$ respectivement. La composante vectorielle le long d'un des axes de coordonnées peut ainsi être indiquée en donnant la grandeur de la composante avec le vecteur unitaire approprié. Par exemple, sur la Fig. 1, la composante $x$ du vecteur $𝐚$ serait écrite comme $a_x𝐢$ et le vecteur $𝐚$ serait écrit comme $𝐚=a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤$.

Nous pouvons écrire le produit scalaire de deux vecteurs comme suit :

$$𝐚=a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤$$ $$𝐛=b_x𝐢+b_y𝐣+b_z𝐤$$ De la définition du produit scalaire, nous avons les relations suivantes entre les vecteurs unitaires : $$𝐢\cdot 𝐢=𝐣\cdot 𝐣=𝐤\cdot 𝐤=1$$ puisque dans chaque cas les vecteurs ont des grandeurs de 1 et sont dans la même direction. De plus : $$𝐢\cdot 𝐣=𝐣\cdot 𝐤=𝐤\cdot 𝐢=𝐢\cdot 𝐤=𝐣\cdot 𝐢=𝐤\cdot 𝐣=0$$ puisque les deux vecteurs des ensembles respectifs sont perpendiculaires. Le produit scalaire est donc,

$$𝐚\cdot 𝐛=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$