Moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe incliné

Lors de la détermination du moment d'inertie d'une aire par intégration, on constate généralement que, bien qu'il puisse être relativement facile d'effectuer les intégrations pour certaines positions de l'axe, d'autres positions peuvent être difficiles en raison de la forme de la frontière de l'aire. Par exemple, le moment d'inertie d'une aire rectangulaire peut facilement être trouvé par intégration pour tout axe parallèle à l'un des côtés. Cependant, pour un axe incliné d'un angle par rapport aux côtés, l'intégration et la substitution des conditions aux limites deviennent plus difficiles. Nous souhaiterions donc disposer d'une méthode pour déterminer le moment d'inertie d'une aire par rapport à tout axe incliné dans cette aire, connaissant le moment d'inertie par rapport à un autre axe.

Dans la Fig. 1, supposons que les moments d'inertie $I_{x}$ et $I_{ν}$ par rapport aux axes $x y$ sont connus, et que l'on désire trouver le moment d'inertie par rapport à l'axe qui fait un angle $ϕ$ avec l'axe $x$ .

Les coordonnées d'un élément d'aire $d A$ dans le système peuvent être exprimées en fonction des coordonnées dans le système $x y$ . Le moment d'inertie par rapport à l'axe est alors donné par : En posant $\cos^{2} ϕ = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 ϕ)$ et $\sin^{2} ϕ = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 ϕ)$ , cette expression devient : Ainsi, si les moments d'inertie $I_{x}$ et $I_{y}$ , ainsi que le produit d'inertie $I_{x y}$ sont connus, le moment d'inertie par rapport à tout axe incliné peut être déterminé.

Exemple. Trouver le moment d'inertie de l'aire d'un rectangle par rapport à l'une de ses grandes diagonales (Fig. 2).

Solution. Nous prendrons le centre du rectangle comme origine d'un système de coordonnées $x y$ . Dans ce système, nous avons : L'expression générale du moment d'inertie par rapport à un axe incliné est : Dans ce cas : De sorte que :

4.8.1 PROBLÈMES

1. Trouver par intégration le produit d'inertie $I_{x y}$ de l'aire d'un rectangle qui se situe dans le premier quadrant comme indiqué sur la figure. Vérifier ce résultat en utilisant le théorème de transfert pour les produits d'inertie.

2. Trouver le produit d'inertie $I_{x y}$ de l'aire d'un quart de cercle, orienté comme indiqué sur la figure.

3. Trouver le produit d'inertie $I_{x y}$ de la figure montrée dans l'Exemple 3 de la Section : Le moment d'inertie polaire d'une aire.

4. Montrer que la somme des moments d'inertie par rapport à deux axes perpendiculaires dans le plan d'une aire est une constante indépendante de l'angle de rotation des axes dans l'aire, par exemple, dans la Fig. 1, constante. Montrer que ce résultat est prévisible à partir de la définition du moment d'inertie polaire.

5. Montrer que le produit d'inertie d'une aire par rapport à deux axes inclinés (comme dans la figure suivante) est donné par :

6. Montrer que l'angle définissant l'axe pour lequel le moment d'inertie est maximum ou minimum est donné par (voir la figure du problème précédent) : $\tan 2 ϕ = \frac{2 I_{x y}}{I_{y} - I_{x}} .$ Montrer que si le moment d'inertie est maximum par rapport à un axe, alors il est minimum par rapport à l'axe perpendiculaire. Les axes pour lesquels les moments d'inertie sont maximum et minimum sont appelés les axes principaux de l'aire.

7. Montrer que le produit d'inertie d'une aire par rapport aux axes principaux est égal à zéro (se référer au Problème 108 ci-dessus).

8. Le Structural Steel Handbook indique que le plus petit rayon de giration de la section transversale d'une cornière de dimensions $6 \times 4 \times 1 in$ d'épaisseur par rapport à toute ligne de l'aire est de $0.86 in$ . Dans quelle mesure cette valeur est-elle vérifiée en supposant que la forme de la section est celle indiquée dans le diagramme ? La valeur de ce plus petit rayon de giration est nécessaire pour une analyse de la résistance d'un tel élément de structure.