L'Équilibre et la stabilité des corps flottants

Lorsqu'un corps flotte en équilibre dans un fluide, la poussée d'Archimède du fluide est exactement égale à la force de gravité sur le corps. Un corps flottant s'enfonce ainsi jusqu'à ce qu'un volume de fluide soit déplacé, dont le poids est exactement égal à celui du corps.

La question de savoir si cette position d'équilibre est stable ou non revêt une grande importance dans la conception des navires. On verra immédiatement que de telles positions d'équilibre de flottaison sont stables en ce qui concerne les déplacements verticaux. Si, par exemple, le corps est légèrement déplacé vers le bas depuis la position d'équilibre dans le fluide, un plus grand volume de fluide sera déplacé et la poussée d'Archimède vers le haut augmentera, tendant ainsi à ramener le corps vers la position d'équilibre. De même, si le corps est soulevé, la diminution de la poussée d'Archimède se traduira par une force nette vers le bas qui tendra à ramener le corps vers la position d'équilibre. En ce qui concerne les mouvements horizontaux, on voit que l'équilibre est neutre, car les forces du système ne sont pas modifiées lors de tels déplacements. La question de la stabilité du corps en présence de mouvements angulaires ne peut cependant pas être réglée aussi rapidement et nécessite une étude plus approfondie.

La Fig. 1a montre la section transversale d'un navire flottant dans l'eau. Le centre de gravité du navire se trouve au point $G$, et le centre de gravité du fluide déplacé, représenté en grisé, se trouve au point $B$, dans la position d'équilibre. Le point d'application de la poussée d'Archimède $F_B$ se trouve au point $B$. Si maintenant nous faisons pivoter le navire autour d'un axe longitudinal d'un petit angle $\varphi$, le point $B$ prendra une nouvelle position, telle que ou dans les Fig. 1b et 1c.

Selon la position de ce point $B$, deux situations différentes se présentent. Sur la Fig. 1b, on voit que pour la position de indiquée, les forces $F_B$ et $W$ forment un couple dont la direction tend à augmenter l'angle de roulis. L'équilibre est donc dans ce cas instable. Sur la Fig. 1c, en revanche, la position de est telle qu'il se forme un couple qui tend à ramener le navire à la position d'équilibre, et donc la position d'équilibre est, dans ce cas, stable. Comme la position des points et dépend évidemment de la géométrie du système, il est clair que pour chaque corps flottant, une étude de ces conditions de stabilité doit être effectuée.

En se référant à la Fig. 1c, on observe que la ligne d'action de la poussée d'Archimède $F_B$ coupe la droite passant par les points $G$ et $B$ au point $M$. Ce point est appelé le métacentre du corps, et la distance $h$ entre le métacentre et le centre de gravité est appelée la hauteur métacentrique. On voit que si le métacentre est au-dessus du centre de gravité, l'équilibre est stable, tandis que si le métacentre est au-dessous du centre de gravité, l'équilibre est instable.

La hauteur métacentrique peut être facilement déterminée expérimentalement pour un navire donné. Supposons que pour le navire représenté sur la Fig. 1, on trouve expérimentalement qu'un poids $w$ placé à une distance $b$ de l'axe central du navire fait rouler le navire d'un petit angle $\varphi$. À partir des conditions d'équilibre, nous aurions : $$\begin{array}{c}wb\cos \varphi =Wh\sin \varphi \\ \text{ pour }\varphi \text{ petit; }\cos \varphi \approx 1,\sin \varphi \approx \varphi \end{array}$$ Par conséquent, $$h=\frac{wb}{W\varphi }.$$

La hauteur métacentrique peut également être calculée, comme nous allons le montrer maintenant. Sur la Fig. 2, supposons que la surface de l'eau soit tournée d'un angle infinitésimal $d\varphi$, ce qui équivaut à faire tourner le navire de l'angle $d\varphi$. Sous l'effet de cette rotation, le centre de poussée se déplace de $B$ à et ce déplacement peut être calculé en prenant les moments des volumes autour du point $B$, en appelant $V$ le volume déplacé. L'intégrale ${\displaystyle {\int }_A{x}^{2}dA}$ est sommée sur toute l'aire de la ligne de flottaison du navire. En désignant ce moment d'inertie de l'aire de la ligne de flottaison du navire par $I$, nous avons : De plus, d'après la Fig. 2, nous avons : Ainsi : $$h=\frac{\gamma I}{W}-a$$

Exemple. Un parallélépipède rectangle à base carrée flotte dans un fluide, la base carrée étant horizontale. Le matériau du bloc est homogène et a un poids spécifique $\gamma$. Quelle est la hauteur maximale du bloc compatible avec la stabilité au roulis ?

Solution. On trouve la hauteur maximale $t$ compatible avec la stabilité en annulant la hauteur métacentrique. $$h=\frac{{\gamma }_F}{W}-a=0$$ $a$ est la distance entre le centre de gravité du corps et le centre de poussée, et est donc égale à : $$a=\frac{t}{2}-\frac{c}{2}=\frac{1}{2}(t-c)$$ Si ${\gamma }_F$ est le poids spécifique du fluide, on a : d'où $$a=\frac{1}{2}(t-\frac{\gamma }{{\gamma }_F}t)=\frac{t}{2}(1-\frac{\gamma }{{\gamma }_F})$$ Pour évaluer le moment d'inertie $I$, on indique l'élément d'aire de la ligne de flottaison par $bdx$, l'intégrale devient : $$\begin{array}{c}I=2b{\int }_0^{\frac{b}{2}}{x}^{2}dx={2b\left(\frac{x^3}{3}\right)|}_0^{\frac{b}{2}}\\ I=\frac{b^4}{12}\end{array}$$ Ainsi, on a : $$\frac{t}{2}(1-\frac{\gamma }{{\gamma }_F})=\frac{{\gamma }_F{b}^4}{12b^{2}t\gamma }$$

$$t=b\sqrt{\frac{1}{6(1-{\displaystyle \frac{\gamma }{{\gamma }_F}})\left({\displaystyle \frac{\gamma }{{\gamma }_F}}\right)}}$$ À titre d'exemple concret, prenons un bloc de bois pesant $40\mathrm{lb}$ par pied cube et faisons-le flotter dans de l'eau ayant un poids de $62.4\mathrm{lb}$ par $\mathrm{cu}\mathrm{ft}$. Alors la hauteur maximale compatible avec la stabilité au roulis est : $$t=b\sqrt{\frac{1}{6(1-\frac{40}{62.4})\left(\frac{40}{62.4}\right)}}=0.851b$$ par exemple, si $b=4\mathrm{in}$, $t_{max}=3.4\mathrm{in}$.

4.15.1 PROBLÈMES

1. Trouvez la relation d'équilibre entre les charges $P$ et $Q$ sur la presse hydraulique représentée sur le schéma. Les surfaces des deux pistons sont $A_1$ et $A_2$, et les poids des pistons peuvent être négligés.

2. Les éléments de support $AB$ du barrage en charpente représenté sur la figure sont espacés de $5\mathrm{ft}$ le long du barrage. Quelle est la force dans $AB$ ?

Réponse

$11,500\mathrm{lb}$

3. Une vanne est soutenue par une force $F$ comme indiqué sur la figure. Quelle est la grandeur de $F$ pour les niveaux d'eau représentés ?

Réponse

759 lb par ft