Le théorème de transfert des moments d'inertie

Supposons que le moment d'inertie d'une surface soit connu par rapport à une droite, et que l'on souhaite déterminer le moment d'inertie de la même surface par rapport à une autre droite, parallèle à la première.

Dans la Fig. 1, le moment d'inertie connu par rapport à la droite $x$ est $I_x={\displaystyle \int y^{2}dA}$ et le moment d'inertie doit être déterminé. La distance constante entre les deux droites parallèles est $a$. Par définition : Le premier terme ${\displaystyle \int y^{2}dA}$ est $I_x$, et le dernier terme ${\displaystyle a^2\int dA}$ est $a^{2}A$. Si l'on prend la droite $x$ comme passant par le centre de gravité de la surface, alors le deuxième terme ${\displaystyle 2a\int ydA=0}$, et nous avons : où la notation $I_{x_c}$ indique que l'axe $x$ passe par le centre de gravité de la surface. Cette expression, appelée théorème de transport des moments d'inertie, indique que le moment d'inertie d'une surface quelconque est égal à la somme du moment d'inertie de la surface par rapport à un axe centroïdal parallèle et d'un terme égal à la surface multipliée par le carré de la distance à l'axe centroïdal. Il faut particulièrement remarquer que l'axe parallèle doit être un axe centroïdal, sinon le deuxième terme de l'analyse précédente ne disparaît pas et l'expression résultante a une forme plus complexe. Si le moment d'inertie est connu par rapport à un axe non centroïdal et que l'on désire trouver le moment d'inertie par rapport à un autre axe non centroïdal parallèle, le théorème des axes parallèles doit d'abord être utilisé pour trouver le moment d'inertie par rapport à l'axe centroïdal comme étape intermédiaire dans le problème.

Les positions des centres de gravité et les moments d'inertie pour un certain nombre de figures courantes sont donnés dans l'Annexe.