Le produit d'inertie d'une aire

Considérons une surface et un système de coordonnées $xy$ dans le plan de la surface comme illustré à la Fig. 1.

L'intégrale est appelée le produit d'inertie de la surface par rapport au système de coordonnées $xy$. Des intégrales de cette forme apparaissent souvent dans l'analyse de problèmes en dynamique et en résistance des matériaux et il sera nécessaire d'évaluer de tels termes.

Pour certaines figures simples, il sera possible de calculer le produit d'inertie directement par intégration. Pour des figures plus complexes, la figure peut être décomposée en éléments plus simples dont les produits d'inertie sont connus ou peuvent être facilement déterminés, et le produit d'inertie total sera alors la somme des produits d'inertie des parties. À cette fin, il sera souhaitable de disposer d'un théorème des axes parallèles pour le transfert du produit d'inertie d'un système de coordonnées à un autre.

Supposons que les produits d'inertie $I_{x_c{y}_c}$ d'une surface soient connus pour des axes rectangulaires situés au centroïde de la surface, comme illustré à la Fig. 2. Pour trouver le produit d'inertie $I_{xy}$ par rapport à tout autre système de coordonnées parallèle, on a : Le premier terme devient $x_c{y}_{c}A$, les deuxième et troisième termes disparaissent, puisque les axes passent par le centroïde de la surface, et le dernier terme est $I_{x_c{y}_c}$, de sorte que : Si des axes doivent être transférés d'un axe non centroïdal à un axe parallèle non centroïdal, il convient de noter qu'il sera d'abord nécessaire de déterminer le produit d'inertie par rapport à un système centroïdal comme étape intermédiaire. L'expression ci-dessus pour le transfert vers des axes parallèles ne s'applique que lorsque les axes sont au centroïde de la surface.

Puisque les termes $x$ et $y$ apparaissant dans l'expression du produit d'inertie peuvent être soit positifs soit négatifs, le produit d'inertie lui-même peut être soit positif soit négatif. La partie de la surface qui se trouve dans le premier quadrant donnera un produit d'inertie positif, celle qui se trouve dans le deuxième quadrant donnera un produit d'inertie négatif, etc. Le signe du produit d'inertie total peut généralement être vérifié par simple examen, car il dépendra des proportions relatives de la surface situées dans les différents quadrants. Si l'axe $x$ ou l'axe $y$ est un axe de symétrie pour la figure, alors $I_{xy}=0$, puisqu'il y aura un terme $xydA$ négatif pour annuler chaque terme $xydA$ positif. Ce fait peut souvent être utilisé, en combinaison avec le théorème des axes parallèles, pour trouver le produit d'inertie sans intégration.

Exemple. Trouver le produit d'inertie de la surface d'un triangle rectangle par rapport à des axes centroïdaux parallèles à la base et à la hauteur.

Solution. Ce problème peut être résolu de la manière la plus directe en trouvant d'abord le produit d'inertie par rapport au système $xy$ montré à la Fig. 3 par intégration, puis en utilisant le théorème de transfert pour trouver le produit d'inertie centroïdal. À partir du théorème de transfert, on a : Notez que l'énoncé du problème ne conduit pas à une réponse unique, car le signe de $I_{x_c{y}_c}$ dépend de l'orientation (Fig. 4).