Le moment d'inertie polaire d'une surface

Il est également commode de définir un moment d'inertie d'une aire par rapport à une ligne normale au plan de l'aire. Sur la Fig. 1, les axes $x y$ sont dans le plan de l'aire ; $r$ est la distance de l'axe $z$ à un élément d'aire $d A$ . Le moment d'inertie polaire de l'aire est alors défini par :

On peut aussi écrire $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , de sorte que : Ainsi le moment d'inertie polaire d'une aire par rapport à un axe passant par un point est égal à la somme des moments d'inertie de l'aire par rapport à deux axes perpendiculaires dans l'aire passant par ce même point.

Exemple 1. Trouver la position du centroïde du volume d'un hémisphère de rayon $r$ (Fig. 2).

Solution. Nous savons que le centroïde se trouve quelque part sur l'axe de symétrie de l'hémisphère. Prenant l'axe de symétrie comme axe $y$ , le centroïde peut être entièrement déterminé en trouvant $y_{c}$ . En prenant des tranches élémentaires de l'hémisphère parallèles au plan $x z$ , on a :

Exemple 2. Trouver le moment d'inertie de l'aire d'un triangle par rapport à une ligne parallèle à une base passant par le centroïde de l'aire (Fig. 3).

Solution. Nous allons d'abord trouver par intégration directe le moment d'inertie de l'aire du triangle par rapport à la base. Maintenant, en utilisant le théorème de Huygens pour les axes parallèles, on a :

Exemple 3. Trouver le centroïde de l'aire représentée sur la Fig. 4.

Solution. Nous divisons d'abord la figure en un certain nombre de figures plus simples, dont chacune possède une distance centroïdale connue. Dans le cas présent, nous avons suffisamment de morceaux pour qu'il soit souhaitable de systématiser les calculs en les présentant sous forme de tableau. Ces présentations tabulaires présentent plusieurs avantages. Elles sont très faciles à vérifier car on sait d'un coup d'œil ce que représente chaque nombre sur la feuille, et l'organisation de calculs complexes sous forme de tableau permet d'employer du personnel de calcul relativement peu qualifié pour des calculs de routine.

Partie	Aire $A$ $({in}^{2})$	Dist. centroïdale $x (in)$	Dist. centroïdale $y (in)$	$(A) (x)$ ( ${in}^{3}$ )	$(A) (y)$ ( ${in}^{3}$ )
I	$27$	$\frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$	$\frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5$	$40.5$	$121.5$
II	$3$	$3 + \frac{1}{3} \cdot 2 = 3.67$	$6 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 7$	$11.0$	$21.0$
III	$4$	$3 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 4$	$4 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 5$	$16.0$	$20.0$
IV	$3$	$\frac{1}{2} (- 1) = - 0.5$	$\frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$	$- 1.5$	$4.5$
V	$\frac{π}{4} = 0.79$	$- \frac{4 \times 1}{3 π} = - 0.42$	$3 + \frac{4 \times 1}{3 π} = 3.42$	$- 0.3$	$2.7$
$\sum$	$37.8$			$65.7$	$169.7$

$x_{c} = \frac{65.7}{37.8} = 1.74; y_{c} = \frac{169.7}{37.8} = 4.49$

Exemple 4. Trouver le moment d'inertie de l'aire montrée dans l'Exemple 3 par rapport à l'axe $x$ .

Solution. L'aire est subdivisée en les mêmes éléments que ceux utilisés dans le problème précédent. Pour chacun de ces éléments, le moment d'inertie par rapport à un axe passant par le centroïde de l'élément et parallèle à l'axe $x$ peut être calculé à l'aide de la formule du moment d'inertie de l'élément donnée dans l'annexe. Le théorème de Huygens peut alors être utilisé pour trouver le moment d'inertie de chaque élément par rapport à l'axe $x$ , et la somme de ces valeurs donnera le moment d'inertie de l'aire totale. Ces calculs peuvent être commodément présentés sous forme de tableau :

Partie	$I_{c}$ $(in)$	$y_{c}$ $(in)$	$y_{c}^{2}$ $({in}^{2})$	$A$ $({in}^{2})$	$A y_{c}^{2}$ $({in}^{4})$	$I_{x} = I_{c} + A y_{c}^{2}$ $({in}^{4})$
I	182.2	4.5	20.3	27	548	730
II	1.5	7	49	3	147	149
III	1.33	5	25	4	100	101
IV	2.25	1.5	2.25	3	6.75	9
V	0.055	3.42	11.7	0.79	9.24	9
$\sum$					998

4.6.1 PROBLÈMES

1. (a) Montrer que l'aire de la surface engendrée en faisant tourner une courbe plane quelconque autour d'un axe non sécant situé dans le plan de la courbe est égale à la longueur de la courbe multipliée par la distance parcourue par le centroïde de la courbe.*

Montrer que le volume du solide engendré en faisant tourner une figure plane quelconque autour d'un axe non sécant situé dans le plan de la figure est égal à l'aire de la figure multipliée par la distance parcourue par le centroïde de l'aire.¹

2. Trouver le centre de gravité d'un fil fin courbé en forme de quart de cercle. À l'aide de ce résultat, calculer l'aire de la surface d'une sphère.

3. Trouver le centroïde de l'aire située sous un demi-cycle d'une sinusoïde.

4. Trouver le centroïde d'un segment de cercle de rayon $r$ sous-tendu par l'angle $α$ .

5. Montrer que le centroïde du volume de tout cône ou pyramide est situé à une distance des trois quarts de la hauteur à partir du sommet.

6. Montrer que pour le triangle représenté sur la figure : $x_{c} = \frac{l + c}{3}$

7. Un verre est partiellement rempli d'eau. Montrer que le centre de gravité du verre et de l'eau est le plus bas lorsque ce centre de gravité se trouve dans la surface de l'eau.

8. Trouver le moment d'inertie de l'aire d'un cercle par rapport à un diamètre du cercle.

9. Trouver le moment d'inertie polaire de l'aire d'un rectangle par rapport à un axe normal à l'aire passant par le centroïde du rectangle.

10. Montrer que le moment d'inertie polaire d'une aire par rapport à un axe quelconque est égal à la somme du moment d'inertie polaire de l'aire par rapport à l'axe centroïdal et du produit de l'aire par le carré de la distance entre les axes.

11. Trouver le moment d'inertie de l'aire grisée montrée sur le schéma par rapport à l'axe $x x$ .

Réponse

53.4 in $^{4}$

12. Trouver le centroïde du volume montré sur la figure.

Réponse

$x_{c} = 4.00, y_{c} = 2.84, z_{c} = 2.86$

13. La section transversale d'une poulie à courroie trapézoïdale a les dimensions indiquées sur la figure. Si la poulie est en acier pesant $0.283 lb$ par po³, trouvez le poids de la poulie.

Réponse

154 lb

14. Trouver le centre de gravité d'un solide homogène ayant la forme montrée sur la figure.

Réponse

$x_{c} = 2.25, y_{c} = 1.35, z_{c} = 1.80$

15. Un trou de 3 po de diamètre est percé dans un cône comme montré ci-dessous sur la figure. Quelle devrait être la profondeur $h$ du trou si le centroïde du volume restant doit être situé à une distance $h$ de la base du cône ?

Réponse

$h = 2.8$ po.

16. Une dimension standard de la forme structurale connue sous le nom de cornière à bulbe a les dimensions indiquées sur la figure :

Le Structural Aluminum Handbook donne la position suivante du centre de gravité de la section : $x_{c} = 2.22 po$ . ; et $y_{c} = 0.93 po$ . Vérifiez ces valeurs en négligeant les petites aires représentées par les congés et les arrondis.
Le Structural Aluminum Handbook donne le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe $x_{c}$ à $3.02 {po}^{4}$ . Vérifiez cette valeur.

Ces « théorèmes » sont dus à Pappus (300 ap. J.-C.) et furent plus tard notés indépendamment par Guldinus (1635-1642).↩︎