Le Centre de gravité

Pour une approximation aussi bonne que celle requise dans la plupart des travaux d'ingénierie, le système de forces de gravité agissant sur un corps peut être considéré comme un système de forces parallèles. Puisque les forces de gravité sont toujours présentes et doivent dans la plupart des problèmes être prises en compte, il sera souhaitable de simplifier le traitement de tels systèmes de forces parallèles au moyen d'une analyse générale.

Nous montrerons d'abord que le système de forces de gravité parallèles agissant sur un corps a une résultante qui passe par un point particulier du corps, quelle que soit l'orientation du corps. Ce centre des forces de gravité parallèles est appelé le centre de gravité du corps, et le poids total du corps peut être considéré comme concentré en ce point, en ce qui concerne les considérations statiques.

Considérons un système rigide représenté par les trois particules de la Fig. 1.

Le système est soumis à des forces de gravité parallèles $F_1,F_2$ et $F_3$. Dans cette figure, l'axe $y$ n'est pas la direction verticale, mais le système a reçu une orientation générale quelconque dans l'espace.

Nous décomposons maintenant chacune des forces parallèles en trois composantes rectangulaires : où $k_1,k_2,k_3$ sont les cosinus directeurs et sont les mêmes pour toutes les forces, puisque les forces sont parallèles.

En considérant le système de forces parallèles à l'axe $x$, nous avons par le principe des moments : mais $$R_x=k_1{F}_1+k_1{F}_2+k_1{F}_3$$ donc

$$y_c=\frac{{\displaystyle k_1\sum (F)(y)}}{{\displaystyle k_1\sum F}}=\frac{{\displaystyle \sum (F)(y)}}{{\displaystyle \sum F}}$$ et $$z_c=\frac{{\displaystyle \sum (F)(z)}}{{\displaystyle \sum F}}$$ De même, en prenant les composantes de force parallèles à l'axe $y$, nous trouvons : $$x_c=\frac{{\displaystyle \sum (F)(x)}}{{\displaystyle \sum F}}$$

Nous avons ainsi défini un point $x_c,y_c,z_c$, qui est le point d'application de la résultante de tout système parallèle de forces de gravité. Puisque les cosinus directeurs particuliers définissant l'orientation du système s'annulent dans l'analyse, on voit que l'emplacement de ce centre des forces parallèles est indépendant de l'orientation du corps. Ce point est appelé le centre de gravité du système.

En appliquant ce principe à un corps homogène de poids total $W$, nous pouvons ramener cette force unique $W$ à un système de forces parallèles chacune de grandeur $dW$ de sorte que $W={\displaystyle \int dW}$. Ensuite, si nous localisons chaque élément de poids $dW$ par les coordonnées $x,y,z$, nous avons pour l'emplacement du centre de gravité du corps :