La pression dans un fluide

Considérons un très petit volume de fluide sous la forme d'un prisme triangulaire, comme illustré à la Fig. 1.

De la définition d'un fluide, nous savons que dans des conditions d'équilibre, les forces $F_1,F_2$, etc., exercées sur les faces du prisme par le fluide, sont normales aux surfaces, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de forces tangentielles dans un fluide au repos. Nous définissons la pression dans le fluide comme la force surfacique par unité de surface, et nous désignerons ces pressions par la lettre minuscule $p$. Ainsi, sur la Fig. 1, la pression $p_1$, associée à la force $F_1$, serait ${\displaystyle \frac{F_1}{dzdl}}$, en supposant que les surfaces de l'élément sont suffisamment petites pour que l'on puisse dire que la force est uniformément répartie sur les faces de l'élément.

En sommant les forces dans les directions $x$ et $y$, nous avons pour la condition d'équilibre : Dans ces équations, nous négligeons toutes les forces volumiques proportionnelles au volume de l'élément, telles que les forces de gravité, car lorsque l'élément devient infiniment petit, de telles forces volumiques feraient intervenir des quantités petites du troisième ordre, tandis que les forces surfaciques impliquent des termes du deuxième ordre.

À partir des équations ci-dessus, en notant que $dl\sin \alpha =dy$ et $dl\cos \alpha =dx$, nous avons : $$\begin{array}{c}{p}_{2}dydz-p_{1}dydz=0,\\ p_{3}dxdz-p_{1}dxdz=0.\end{array}$$ Par conséquent, $$p_1=p_2=p_3.$$

Puisque nous avons pris $\alpha$ comme un angle quelconque, nous pouvons conclure que la pression en un point d'un fluide est la même sur toute surface passant par ce point, indépendamment de la direction de cette surface. C'est l'une des différences fondamentales entre un fluide idéal et des corps tels qu'un solide élastique, dans lequel la pression dépend effectivement de la direction de la surface sur laquelle elle agit.