Hydrostatic Force on Any Curved Area. Buoyant Forces

Les considérations précédentes peuvent être étendues aux surfaces courbes :

Soit $A B$ la vue de l'arête d'une surface cylindrique dont la longueur perpendiculaire au plan de la figure est l'unité. Nous souhaitons déterminer les composantes horizontale et verticale $R_{x}$ et $R_{y}$ du système de forces agissant sur un côté de cette surface dues au fluide.

Dans la Fig. 1a, imaginons un élément fluide délimité par $A B$ , un plan horizontal $B C$ et trois plans verticaux. Pour l'équilibre de cet élément, nous avons : $\begin{matrix} \sum F_{x} = 0 = F_{1} - R_{x} \\ R_{x} = F_{1} \end{matrix}$ Ainsi, la grandeur et la position de la composante horizontale seront les mêmes que la force agissant sur le plan vertical $A C$ et peuvent être calculées comme dans la section précédente.

Pour trouver la composante verticale, nous imaginons que l'élément s'étend jusqu'à la surface libre, comme dans la Fig. 1b. La force sur le sommet de cet élément sera alors nulle, et la condition d'équilibre est : $\begin{matrix} \sum F_{y} = 0 = R_{y} - γ V \\ R_{y} = W \end{matrix}$ Ainsi, la composante verticale de la force est égale en grandeur au poids du fluide contenu dans la colonne verticale au-dessus de la surface, et passe par le centre de gravité de cet élément fluide. On verra que ce même résultat serait obtenu pour un élément de surface de n'importe quelle forme.

Si nous appliquons les principes ci-dessus au cas d'une surface fermée, telle que la surface d'un corps immergé, nous sommes directement conduits au principe d'Archimède pour un corps flottant.

Considérons les forces agissant sur un élément cylindrique d'un corps immergé, comme montré sur la Fig. 2.

En considérant la surface en $A$ , une force $F_{2}$ agira en $A$ , égale au poids du fluide dans la colonne $A C$ . Il y a aussi en $B$ une force descendante $F_{1}$ , égale au poids du fluide dans la colonne $B C$ . Il y aura donc une force nette ascendante $F_{2} - F_{1}$ agissant sur l'élément qui sera égale au poids du fluide contenu dans le volume $d V$ , c'est-à-dire le volume de la colonne $A B$ . Cette force nette ascendante sur l'élément est appelée force de flottabilité. Si nous additionnons maintenant les forces de flottabilité sur tous les éléments du corps, nous trouvons que la force de flottabilité totale agissant sur le corps est égale au poids du fluide déplacé par le corps.