Forces réparties

La plupart des forces avec lesquelles nous avons traité jusqu'à présent ont été supposées concentrées en un point. Notre seule exception, jusqu'ici, a été le cas des forces de gravité uniformément réparties. Il existe un certain nombre d'autres situations courantes dans lesquelles les forces sont réparties dans un volume ou sur une surface. Nous savons, par exemple, qu'il est impossible dans la nature d'obtenir une charge qui soit concentrée en un seul point. La déformation inévitable des surfaces chargées en contact fera que la charge est en réalité répartie sur une petite surface, plutôt que d'être concentrée en un point. Cette répartition de la charge sur une surface est en général une chose souhaitable, car pour les matériaux d'ingénierie, il existe une limite supérieure à la charge par unité de surface pouvant être supportée en toute sécurité, avant qu'une rupture ou une fracture du matériau ne se produise. Si une charge donnée doit être supportée par une surface, il est parfois nécessaire de prendre un soin particulier pour s'assurer que la charge est répartie sur une surface appréciable, afin d'éviter des charges unitaires excessives.

Un exemple d'un tel chargement est la poutre représentée sur la Fig. 1.

Sur la Fig. 1a, on indique le fait que la poutre est soutenue aux deux extrémités et chargée par une charge concentrée entre les appuis. En (b), on montre le diagramme du corps libre de la poutre, et les charges et réactions ont été indiquées, comme dans les chapitres précédents, sous forme de charges concentrées. En (c), une image plus exacte de la situation réelle est présentée. Tant la charge appliquée extérieurement $F$ que les réactions $R_{1}$ et $R_{2}$ aux appuis sont en réalité des systèmes répartis de forces parallèles. La force entre la poutre et la surface d'appui est représentée comme étant répartie sur une longueur $A B$ de la poutre, au lieu d'être ponctuelle. En raison de la manière dont la poutre s'est déformée, il est également probable que cette force est répartie de manière non uniforme sur la distance $A B$ , et qu'elle est plus grande en $B$ qu'en $A$ . Nous avons donc représenté, en première approximation, une variation linéaire de la force le long de la longueur $A B$ . Ce diagramme, qui indique la façon dont la force varie le long de la poutre, est appelé le diagramme des forces, et une ordonnée de ce diagramme, une force par unité de longueur, est appelée l'intensité de force. On verra que l'aire du diagramme des forces est égale à la force résultante du système de forces parallèles, et que cette résultante passe par le centre de gravité de l'aire du diagramme des forces. De cette manière, nous pouvons réduire le système de forces réparties, à des fins statiques, à une force unique agissant en un point déterminé.

Dans l'exemple ci-dessus, nous n'avons considéré que les variations de l'intensité de la force le long de la longueur de la poutre. Dans certains problèmes, les variations de cette intensité de force sur la largeur de la poutre doivent également être prises en compte. Une telle distribution tridimensionnelle des forces est illustrée à la Fig. 2.

Dans ce cas, la charge $P$ est située en dehors de l'axe central de la poutre, de sorte que les intensités des forces de réaction sont plus grandes le long de la partie arrière de la poutre que le long du bord avant de la poutre.

Les forces de réaction forment ainsi, comme sur la Fig. 2, un système de forces parallèles dans l'espace. Au lieu d'une intensité de force, on parle maintenant d'une force par unité de surface, appelée une pression ou une contrainte. Ce système de forces réparties de manière non uniforme dans l'espace pourrait donc être remplacé, à des fins statiques, par une force résultante unique dont la grandeur est égale au volume du diagramme de pression, et qui passe par le centre de gravité de ce volume.

Exemple. Une extrémité d'une poutre est encastrée dans un mur comme indiqué sur la Fig. 3a, tandis que l'autre extrémité est chargée par une force concentrée $P$ . En supposant que la variation de l'intensité de force des forces de réaction sur la poutre est telle qu'indiquée en (b), trouvez les intensités de force maximales $p_{1}$ et $p_{2}$ .

Solution. Nous pouvons remplacer les charges réparties représentées par des forces résultantes agissant par les centres de gravité des diagrammes d'intensité de force, comme indiqué en (c).

En prenant les moments par rapport au point $A$ , on a pour l'équilibre : aussi Comme équation de vérification, nous pouvons écrire l'équation de sommation des forces :

4.9.1 PROBLÈMES

1. Une poutre supporte une charge concentrée de $100 lb$ et est supportée comme indiqué sur la figure. En supposant que les forces de réaction à l'appui sont uniformément réparties sur la largeur de l'appui, trouvez l'intensité de la force aux deux appuis.

Réponse

27,8 lb par pouce, 44,5 lb par pouce

2. La charge sur une poutre varie linéairement de zéro à une extrémité à une charge $p$ par unité de longueur de la poutre à l'autre extrémité. Si la réaction $R$ à l'extrémité la plus chargée de la poutre ne doit pas dépasser $1500 lb$ , quelle est la charge totale maximale que peut supporter la poutre ?

Réponse

2250 lb

3. Une poutre est chargée et supportée comme indiqué sur le schéma. En supposant que le diagramme des forces de réaction a une forme trapézoïdale, trouvez les intensités des forces de réaction.

Réponse

Intensité max. $= 200 lb$ par pied