Centroids of Areas, Lengths, and Volumes

En généralisant le concept de moment, les idées ci-dessus peuvent être étendues à plusieurs autres problèmes importants.

Supposons que nous ayons une aire infinitésimale, $dA$, située à une distance $x$ d'un axe. Nous disons alors que le moment de l'aire par rapport à l'axe est le produit $xdA$. Pour trouver le moment d'une aire plane finie quelconque par rapport à une droite de son plan, il suffit d'additionner les moments de tous les éléments, comme illustré sur la Fig. 1.

Le moment de $dA$ par rapport à l'axe des $y$ est $xdA$, et le moment total de l'aire entière par rapport à l'axe des $y$ est ¹ :

Nous définissons maintenant la distance $x_c$ de telle sorte que cette distance multipliée par l'aire totale égale le moment de l'aire par rapport à l'axe des $y$ : $$\left(x_c\right)(A)=\int xdA$$ De manière analogue, la distance $y_c$ est définie $$\left(y_c\right)(A)=\int ydA$$ Le point repéré par les coordonnées $x_c,y_c$ est appelé le centroïde de l'aire.

La quantité ${\displaystyle \int xdA}$ que nous avons appelée le moment de l'aire est souvent appelée le premier moment de l'aire, et l'expression ${\displaystyle \int x^{2}dA}$ est appelée le second moment. Le nom moment d'inertie de l'aire est couramment utilisé à la place du nom second moment. Une longueur $r$ peut être déterminée de sorte que : Cette distance $r$ est appelée le rayon de giration de l'aire par rapport à l'axe des $y$.

Ces concepts des moments d'une aire, de la distance centroïdale et du rayon de giration s'avéreront utiles plus tard dans l'analyse de nombreux problèmes dans les domaines de la dynamique et de la théorie de l'élasticité.

Le centroïde d'une longueur, d'une aire non coplanaire ou d'un volume peut être défini de la même manière que nous avons défini le centroïde d'une aire plane. En écrivant les composantes rectangulaires de ces centroïdes, nous avons :

Pour la ligne de longueur $l$ : $$x_c=\frac{{\displaystyle \int xdl}}{{\displaystyle \int dl}};y_c=\frac{{\displaystyle \int ydl}}{{\displaystyle \int dl}};z_c=\frac{{\displaystyle \int zdl}}{{\displaystyle \int dl}}$$ Pour l'aire de surface $S$: $$x_c=\frac{{\displaystyle \int xdS}}{{\displaystyle \int dS}};y_c=\frac{{\displaystyle \int ydS}}{{\displaystyle \int dS}};z_c=\frac{{\displaystyle \int zdS}}{{\displaystyle \int dS}}$$ Pour le volume $V$: $$x_c=\frac{{\displaystyle \int xdV}}{{\displaystyle \int dV}};y_c=\frac{{\displaystyle \int ydV}}{{\displaystyle \int dV}};z_c=\frac{{\displaystyle \int zdV}}{{\displaystyle \int dV}}$$

On verra qu'il existe une relation étroite entre les centroïdes et les centres de gravité. Le centre de gravité d'un solide homogène est situé au centroïde du volume du solide. Les termes centroïde et centre de gravité sont utilisés de manière interchangeable dans de nombreux ouvrages, bien qu'il soit bon de noter qu'il existe certains cas, par exemple des corps avec des distributions de poids spécifiques non uniformes, dans lesquels le centre de gravité peut ne pas coïncider avec le centroïde du volume.