Constantes, variables et paramètres

Contraintes normales en flexion

À l'Art. 30, il a été établi que dans une poutre soumise à une flexion pure (c'est-à-dire soumise uniquement à des couples d'extrémité), les forces internes sont normales à la section transversale. Si des forces transversales sont présentes, un système de forces de cisaillement ainsi qu'un système de forces normales sont généralement établis sur la section transversale. L'objet de ce chapitre est d'étudier la répartition de ces forces internes et de calculer leurs intensités. L'examen de ces deux types de contraintes sera traité de manière entièrement séparée : la question des contraintes normales (diversement appelées contraintes de flexion ou de fibre) sera abordée en premier.

Imaginez alors une poutre soumise à une flexion pure. Pour trouver la répartition de ces forces internes sur la section transversale, la déformation de la barre doit être prise en compte. Pour le cas simple d'une barre ayant un plan de symétrie longitudinal avec les couples de flexion externes agissant dans ce plan, la flexion aura lieu dans ce même plan. Si la barre est de section rectangulaire et que deux lignes verticales adjacentes $mm$ et $pp$ sont tracées sur ses côtés, l'expérimentation directe montre que ces lignes restent droites pendant la flexion et tournent de manière à rester perpendiculaires aux fibres longitudinales¹ de la barre (Fig. 130). La théorie de la flexion suivante est basée sur l'hypothèse que non seulement des lignes telles que $\mathrm{mm}$ restent droites mais que :

1. La section transversale entière de la barre, initialement plane, reste plane et normale aux fibres longitudinales de la barre après flexion.
2. Le matériau est homogène et obéit à la loi de Hooke.
3. Chaque fibre longitudinale agit comme si elle était séparée de toutes les autres fibres, c'est-à-dire qu'il n'y a ni pressions latérales ni contraintes de cisaillement entre les fibres.
4. La poutre est droite et de section transversale uniforme.
5. Les modules d'élasticité en traction et en compression sont égaux.

L'expérience montre que la théorie basée sur ces hypothèses donne des résultats très précis pour la déflexion des barres et la déformation des fibres longitudinales. De la première hypothèse, il s'ensuit que pendant la flexion, les sections transversales $mm$ et $pp$ tournent l'une par rapport à l'autre autour d'axes perpendiculaires au plan de flexion, de sorte que les fibres longitudinales du côté convexe subissent une extension et celles du côté concave une compression. La ligne $nq$ est la trace de la surface dans laquelle les fibres ne subissent pas de déformation pendant la flexion. Cette surface est appelée surface neutre et son intersection avec n'importe quelle section transversale est appelée axe neutre. L'allongement $st$ de n'importe quelle fibre, à une distance $y$ sous la surface neutre, est obtenu en traçant la ligne $qs$ parallèle à $mm$ (Fig. 130a). En désignant par $\rho$ le rayon de courbure de l'axe déformé² de la barre et en utilisant la similitude des triangles $nOq$ et $tqs$, l'allongement unitaire de la fibre $rs$ est :

$${ϵ}_x=\frac{st}{nq}=\frac{qs}{nO}=-\frac{y}{\rho }$$

Le signe moins dans l'éq. (a) est nécessaire pour qu'une valeur négative de $y$ ( $qt$ sur la Fig. 130a) rende ${ϵ}_x$ positif lorsqu'il s'agit d'une déformation de traction correspondant, par exemple, à $st$ sur la figure. On peut voir que les déformations des fibres longitudinales sont proportionnelles à la distance $y$ de la surface neutre et inversement proportionnelles au rayon de courbure. ${}^3$

[Insérer la Figure 130 ici]

À partir des déformations des fibres longitudinales, les contraintes correspondantes découlent de la loi de Hooke, ${\sigma }_x=E{ϵ}_x$, et :

$${\sigma }_x=-\frac{Ey}{\rho }.$$

La répartition de ces contraintes est illustrée à la Fig. 131. La contrainte dans n'importe quelle fibre est proportionnelle à sa distance par rapport à l'axe neutre $nn$. La position de l'axe neutre et le rayon de courbure $\rho$, les deux inconnues de l'éq. (51), peuvent maintenant être déterminés à partir de la condition selon laquelle les forces réparties sur n'importe quelle section transversale de la barre doivent donner naissance à un couple résistant qui équilibre le couple externe $M$ (voir Art. 30).

[Insérer la Figure 131 ici]

Le moment de la force sur l'élément ci-dessus par rapport à l'axe neutre est³ :

$$dM=-ydF=-y(-\frac{Ey}{\rho }dA)$$ En sommant ces moments sur la section transversale et en égalant la résultante au moment $M$ des forces externes, on obtient l'équation suivante pour déterminer le rayon de courbure $\rho$ : $$M=\int \frac{E}{\rho }{y}^{2}dA=\frac{E{I}_z}{\rho }\text{ or }\frac{1}{\rho }=\frac{M}{E{I}_z},$$ où $$I_z=\int y^{2}dA$$ est le moment d'inertie de la section transversale par rapport à l'axe neutre $Z$. De l'éq. (60), on voit que la courbure $1/\rho$ varie directement comme le moment de flexion et inversement comme la quantité $E{I}_z$, appelée rigidité flexionnelle de la barre. L'élimination de $\rho$ des éqs. (59) et (60) donne l'équation suivante pour les contraintes :

$${\sigma }_x=-\frac{My}{I_z}$$ Dans l'éq. (61), $M$ est positif lorsqu'il produit une déflexion de la barre convexe vers le bas, comme sur la Fig. 130 ; $y$ est positif vers le haut.

Les contraintes maximales de traction et de compression se produisent dans les fibres les plus éloignées et ces contraintes maximales sont données par la formule obtenue à partir de l'éq. (61) :

$${\left({\sigma }_x\right)}_{max}=-\frac{Mc}{I_z}$$

où $c$ est la distance en pouces jusqu'à la fibre extérieure étudiée. Lorsque l'axe neutre est un axe de symétrie, $c$ est le même pour les fibres en traction et en compression.

Dans une grande partie de cet ouvrage, aucune confusion ne résultera si les indices sont supprimés de ${\sigma }_x$ et $I_x$ et le signe moins omis. Cela entraînera une simplification de la formule (c) et la mettra en accord avec celle utilisée par les ingénieurs praticiens dans ce pays, à savoir,

$$\sigma =\frac{Mc}{I}.$$

Il est ainsi entendu que $s$ est la contrainte normale parallèle à l'axe longitudinal de la poutre, $M$ est le moment de flexion en po-lb, $c$ est la distance en pouces jusqu'à la fibre extrême et $I$ est le moment d'inertie de l'aire de la section transversale par rapport à l'axe neutre exprimé en unités de po. 4. S'il est nécessaire de déterminer si une contrainte est une traction ou une compression, on peut facilement le trouver en se représentant si la fibre est allongée ou contractée par l'action de flexion.

La quantité $I/c$ est appelée module de section et est fréquemment désignée par $S$ ou $Z$, qui est en unités de po. ${}^3$. La formule (62) peut être exprimée comme suit :

$$\sigma =\frac{\text{bending moment}}{\text{section modulus}}$$

Dans le cas d'une section transversale rectangulaire (Fig. 130b), nous avons :

$$I=\frac{b{h}^3}{12};\frac{I}{c}=\frac{b{h}^2}{6}$$

Pour une section transversale circulaire de diamètre $d$ :

$$I=\frac{\pi d^4}{64};\frac{I}{c}=\frac{\pi d^3}{32}$$

Pour