Loi de Hooke généralisée
En élasticité classique, on suppose que la contrainte en chaque point ne dépend que des composantes de la déformation élastique en ce même point.1 En d'autres termes, la théorie est locale — la réponse mécanique en un point est déterminée uniquement par l'état de déformation à cet endroit : \[ \sigma_{ij} = F_{ij}(\epsilon_{11}, \epsilon_{22}, \dots, \epsilon_{12}) \quad (i,j=1,2,3) \] De plus, nous supposons qu'il n'y a pas de contrainte si toutes les composantes de la déformation sont nulles (sauf s'il existe des contraintes résiduelles).
Tenseurs de rigidité et de souplesse
En développant \(F_{ij}\) en séries entières : \[ \begin{aligned} \sigma_{11}&=C_{1111}\epsilon_{11}+C_{1112}\epsilon_{12}+C_{1113}\epsilon_{13}+\cdots+C_{1133}\epsilon_{33}\\ \sigma_{12}&=C_{1211}\epsilon_{12}+C_{1112}\epsilon_{12}+C_{1213}\epsilon_{13}+\cdots+C_{1233}\epsilon_{33}\\ \vdots\\ \sigma_{33}&=C_{3311}\epsilon_{11}+C_{3312}\epsilon_{12}+C_{3313}\epsilon_{13}+\cdots+C_{3333}\epsilon_{33} \end{aligned}\tag{*} \] ou de manière plus concise : \[ \sigma_{ij}=\sum_{k=1}^3\sum_{l=1}^3 C_{ijkl} \epsilon_{kl}. \] où \(C_{ijkl}\) est appelé le tenseur de rigidité ou le tenseur des constantes élastiques ou encore modules d'élasticité du matériau.2
En général, \(C_{ijkl}=C_{ijkl}(\mathbf{x})\) ; c'est-à-dire que les coefficients élastiques varient d'un point à un autre. Si \(C_{ijkl}\) est indépendant de la position, on dit que le matériau est homogène.
Le système d'équations linéaires dans (*) peut être résolu pour \(\epsilon_{11}\), \(\epsilon_{12}\), …, \(\epsilon_{33}\), et nous pouvons les exprimer en fonction de \(\sigma_{11}\), \(\sigma_{12}\), …, \(\sigma_{33}\). Le résultat sera un autre système d'équations linéaires : \[ \begin{aligned} \epsilon_{11}&=S_{1111}\sigma_{11}+S_{1112}\sigma_{12}+\cdots+S_{1133}\sigma_{33}\\ \vdots\\ \epsilon_{33}&=S_{3311}\sigma_{11}+S_{3312}\sigma_{12}+\cdots+S_{3333}\sigma_{33} \end{aligned} \] ou plus concisément : \[ \epsilon_{ij}=\sum_{k=1}^3\sum_{l=1}^3S_{ijkl}\sigma_{kl}. \] Ici, nous avons affaire à un autre tenseur de rang quatre Sijkl, qui est appelé tenseur de souplesse.
Puisque \(i, j, k\) et \(l\) varient chacun entre 1, 2 et 3, \(C_{ijkl}\) (ou \(S_{ijkl}\)) possède 81 composantes. Cependant, toutes ne sont pas indépendantes. En utilisant certaines symétries, nous pouvons réduire le nombre de composantes indépendantes. Dans cette section, nous verrons que si le matériau est isotrope, ce qui signifie que ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions, seuls deux modules élastiques suffisent pour spécifier toutes les composantes de rigidité.
La première chose que nous pouvons utiliser pour réduire le nombre de composantes indépendantes est la symétrie de la contrainte et de la déformation. La symétrie de la contrainte \(\sigma_{ij}=\sigma_{ji}\) implique qu'il est symétrique par rapport aux deux premiers indices : \[C_{{\color{red}{ij}}kl}=C_{{\color{red}{ji}}kl}.\] De même, la symétrie de la déformation \(\epsilon_{kl}=\epsilon_{lk}\) implique que \(C_{ijkl}\) est symétrique par rapport aux deux derniers indices \[ C_{ij{\color{red}{kl}}}=C_{ij{\color{red}{lk}}}. \] Puisque chaque paire de \((ij)\) et \((kl)\) peut prendre six valeurs différentes (1,1), (2,2), (3,3), (1, 2) = (2,1), (1,3) = (3,1), (2, 3)=(3,2), il n'y a que 36 constantes élastiques différentes, tout au plus.
Notation de Voigt
L'utilisation de la double notation (par exemple, σᵢⱼ) et la manipulation d'un tenseur de quatrième ordre Cijkl sont fastidieuses. Par conséquent, nous introduisons la notation de Voigt pour simplifier la représentation de la contrainte et de la déformation.
Les composantes du tenseur des contraintes sont arrangées dans un vecteur colonne 6x1 : \[ \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} \] C'est-à-dire que nous les numérotons selon le schéma suivant : \[ \begin{bmatrix} ① & {\color{red}{⑥}} & {\color{red}{⑤}}\\ & ② & {\color{red}{④}}\\ & & ③ \end{bmatrix} \] De même, les composantes de déformation correspondantes sont arrangées dans un vecteur 6x1. Notez les facteurs de 2 pour les déformations de cisaillement, qui sont introduits pour assurer la conjugaison de travail entre les vecteurs de contrainte et de déformation.
\[ \begin{bmatrix} \epsilon_{11} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ 2\epsilon_{23} \\ 2\epsilon_{13} \\ 2\epsilon_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_{11} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} \]
Note : Ne confondez pas σ₁, σ₂, σ₃ et ε₁, ε₂, ε₃ avec les valeurs principales des contraintes et des déformations. Ici, nous les utilisons avec une signification totalement différente.
Matrice des coefficients élastiques
En utilisant la notation de Voigt, la relation linéaire entre la contrainte et la déformation peut être écrite à l'aide d'une matrice [cmn] :
\[ \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} & c_{16} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}& c_{25}& c_{26}\\ \vdots & & \ddots & & & \vdots \\ & & & & & \\ & & & & & \\ c_{61}& & \dots & & & c_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_{11} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} \]
D'après ce qui précède, il est clair que pour exprimer la contrainte en fonction de la déformation, nous avons besoin de 36 constantes indépendantes dans la matrice de rigidité [c].
Note : Bien que Cᵢⱼₖₗ soit un tenseur d'ordre quatre, la matrice 6x6 cₘₙ en notation de Voigt n'est pas un tenseur. Par conséquent, nous ne pouvons pas utiliser les règles de transformation tensorielle pour trouver ses composantes dans un nouveau système de coordonnées. Nous devons d'abord transformer les composantes de contrainte et de déformation, puis en déduire la nouvelle matrice de rigidité.
Énergie de déformation
Précédemment, nous avons montré que la densité d'énergie de déformation, U₀, est donnée par \[ \begin{aligned} dU_0&=\sigma_{11} d\epsilon_{11}+\sigma_{12} d\epsilon_{12}+\cdots+\sigma_{33} d\epsilon_{33}\\ &=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \sigma_{ij}\ d\epsilon_{ij} \end{aligned} \] S'il existe une fonction de densité d'énergie de déformation, nous pouvons exprimer la contrainte comme : \[ \sigma_{ij} = \frac{\partial U_0}{\partial \epsilon_{ij}} \] En utilisant la notation de Voigt, nous pouvons écrire la densité d'énergie de déformation comme \[ dU_0 = \sigma_1 d\epsilon_1 + \sigma_2 d\epsilon_2 + \sigma_3 d\epsilon_3 + \sigma_4 d\epsilon_4 + \dots + \sigma_6 d\epsilon_6 \] et \[ \sigma_{i} = \frac{\partial U_0}{\partial \epsilon_{i}} \] Si le matériau est élastique linéaire, nous avons \(\sigma_i = \sum_{j=1}^{6} c_{ij} \epsilon_j\). En substituant cela dans l'expression de dU₀ : \[ dU_0 = \sum_{i=1}^{6} \sigma_i d\epsilon_i = \sum_{i=1}^{6} \sum_{k=1}^{6} c_{ik} \epsilon_k\, d\epsilon_i \] L'intégration de cette expression donne la densité d'énergie de déformation : \[ U_0 = \sum_{i=1}^{6} \sum_{k=1}^{6} \frac{1}{2} c_{ik} \epsilon_k \epsilon_i \] En prenant deux fois les dérivées partielles, nous trouvons : \[ \frac{\partial^2 U_0}{\partial \epsilon_i \partial \epsilon_j} = \frac{\partial}{\partial \epsilon_i}\left(\frac{\partial U_0}{\partial \epsilon_j}\right)=\frac{\partial \sigma_j}{\partial \epsilon_i} = c_{ji} \] \[ \frac{\partial^2 U_0}{\partial \epsilon_j \partial \epsilon_i} = \frac{\partial \sigma_i}{\partial \epsilon_j} = c_{ij} \] Puisque l'ordre de dérivation n'a pas d'importance pour une fonction3 : \[ \frac{\partial^2 U_0}{\partial \epsilon_i \partial \epsilon_j} = \frac{\partial^2 U_0}{\partial \epsilon_j \partial \epsilon_i} \] nous devons avoir :4 \[ c_{ji} = c_{ij} \] Cela signifie que la matrice de rigidité [c] doit être symétrique. Cette symétrie réduit le nombre de constantes élastiques différentes à 21 (6 éléments diagonaux + 15 éléments au-dessus de la diagonale).
L'effet de la symétrie matérielle
Le nombre de constantes élastiques indépendantes (21 pour le cas anisotrope le plus général) peut être réduit si la structure du matériau possède une certaine forme de symétrie.
Matériau avec un plan de symétrie
Supposons que le matériau a un plan de symétrie matérielle en z=0 (le plan xy). Cela signifie que la réponse du matériau est identique si nous réfléchissons le système de coordonnées à travers ce plan. Définissons un nouveau système de coordonnées (x’, y’, z’) tel que : \[ x' = x, \quad y' = y, \quad z' = -z \] Dans le nouveau système de coordonnées, en raison de la symétrie du matériau, les coefficients élastiques restent invariants, mais sous cette transformation, les composantes de contrainte et de déformation changent comme suit : \[ \begin{aligned} \sigma_{x'x'} &= \sigma_{xx} & \sigma_{x'y'} &= \sigma_{xy} & \sigma_{x'z'} &= -\sigma_{xz} \\ \sigma_{y'y'} &= \sigma_{yy} & \sigma_{y'z'} &= -\sigma_{yz} & \sigma_{z'z'} &= \sigma_{zz} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \epsilon_{x'x'} &= \epsilon_{xx} & \epsilon_{x'y'} &= \epsilon_{xy} & \epsilon_{x'z'} &= -\epsilon_{xz} \\ \epsilon_{y'y'} &= \epsilon_{yy} & \epsilon_{y'z'} &= -\epsilon_{yz} & \epsilon_{z'z'} &= \epsilon_{zz} \end{aligned} \] La relation de comportement pour σₓₓ doit être la même dans les deux systèmes de coordonnées. Dans le système d'origine : \[ \sigma_{xx} = c_{11}\epsilon_{xx} + c_{12}\epsilon_{yy} + c_{13}\epsilon_{zz} + c_{14}\gamma_{yz} + c_{15}\gamma_{xz} + c_{16}\gamma_{xy} \] Dans le nouveau système : \[ \sigma_{x'x'} = c_{11}\epsilon_{x'x'} + c_{12}\epsilon_{y'y'} + c_{13}\epsilon_{z'z'} + c_{14}\gamma_{y'z'} + c_{15}\gamma_{x'z'} + c_{16}\gamma_{x'y'} \] En substituant les composantes transformées : \[ \sigma_{xx} = c_{11}\epsilon_{xx} + c_{12}\epsilon_{yy} + c_{13}\epsilon_{zz} - c_{14}\gamma_{yz} - c_{15}\gamma_{xz} + c_{16}\gamma_{xy} \] Pour que les deux équations soient identiques pour toutes les déformations possibles, nous devons avoir : \[ c_{14} = -c_{14} \implies c_{14} = 0 \] \[ c_{15} = -c_{15} \implies c_{15} = 0 \] En appliquant la même logique aux autres composantes de contrainte, nous trouvons que c₂₄ = c₂₅ = c₃₄ = c₃₅ = c₄₆ = c₅₆ = 0. La matrice élastique se simplifie en : \[ [c_{mn}] = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & c_{16} \\ c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & c_{26} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & c_{36} \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & c_{45} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{45} & c_{55} & 0 \\ c_{16} & c_{26} & c_{36} & 0 & 0 & c_{66} \end{bmatrix} \] Cela réduit le nombre de constantes élastiques nécessaires pour spécifier le tenseur de rigidité à 13.
Matériau orthotrope
Un matériau orthotrope possède trois plans de symétrie mutuellement perpendiculaires et trois axes orthogonaux correspondants. De nombreux matériaux, tels que le bois, les tôles métalliques laminées et les stratifiés renforcés de fibres, ou le béton armé, peuvent être traités comme orthotropes.
Si nous alignons nos axes de coordonnées avec les normales de ces plans, la matrice se simplifie encore. L'application d'un deuxième plan de symétrie (par exemple, le plan xz) annulera des coefficients supplémentaires. La matrice résultante pour un matériau orthotrope est : \[ [c_{mn}] = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & 0 \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66} \end{bmatrix} \] Le nombre de constantes indépendantes est maintenant de 9.
Matériau cubique
Un matériau cubique a la symétrie d'un cube. En plus d'être orthotrope, ses propriétés sont identiques si l'on permute les axes de coordonnées (par exemple, x → y, y → z, z → x). Cela impose des contraintes supplémentaires : \[ \begin{aligned} c_{11} = c_{22} = c_{33} \\ c_{12} = c_{13} = c_{23} \\ c_{44} = c_{55} = c_{66} \end{aligned} \] La matrice des constantes élastiques pour un matériau cubique n'a que 3 constantes indépendantes : \(c_{11}, c_{12}\) et \(c_{44}\) : \[ [c_{mn}] = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{11} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{12} & c_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} \end{bmatrix} \] De nombreux matériaux, y compris ceux ayant des structures CFC, CC et cubique diamant, présentent une symétrie cubique. Des exemples de tels matériaux incluent l'aluminium, le cuivre, le nickel, l'argent, l'or, le fer, le silicium et le germanium.
Exemple :5 Le silicium (Si) et le germanium (Ge) sont tous deux des cristaux avec une maille élémentaire cubique. La longueur d'arête de la maille du Si est \(a_{\text{Si}} = 5.428\) Å, et celle du Ge est \(a_{\text{Ge}} = 5.658\) Å. Un film de Ge, de 10 nm d'épaisseur, est cultivé par épitaxie (c'est-à-dire avec des positions atomiques correspondantes) sur la surface d'un substrat de Si de 100 µm d'épaisseur. Calculez les composantes de contrainte et de déformation dans le film de Ge.
Les constantes élastiques respectives sont données en GPa :
- Si : \(c_{11} = 165.8\), \(c_{12} = 63.9\), \(c_{44} = 79.6\).
- Ge : \(c_{11} = 128.5\), \(c_{12} = 48.2\), \(c_{44} = 66.7\).
Solution
Le problème décrit un film mince de germanium cultivé sur un substrat de silicium beaucoup plus épais. Cette configuration est courante dans l'industrie des semi-conducteurs.
- Croissance épitaxiale : Cela signifie que le réseau cristallin du film de Ge est forcé de s'aligner avec le réseau cristallin du substrat de Si à l'interface.
- Hypothèse du substrat épais : Parce que le substrat de Si (100 µm) est largement plus épais que le film de Ge (10 nm), nous pouvons supposer que le substrat est un gabarit rigide. Il ne plie pas et ne se déforme pas en raison de la présence du film mince. Le film doit subir toute la déformation.
- Système de coordonnées : Nous établissons un système de coordonnées où les axes 1 (x) et 2 (y) sont dans le plan du film, parallèles aux arêtes du cube cristallin, et l'axe 3 (z) est normal à la surface du film.
Calcul de la déformation dans le plan (\(\epsilon_{11}\) et \(\epsilon_{22}\))
La contrainte dans le film provient du désaccord de maille entre le Ge et le Si. La constante de maille naturelle du Ge est plus grande que celle du Si. Pour croître par épitaxie, les atomes de Ge doivent se comprimer dans le plan du film pour correspondre à l'espacement plus petit des atomes de Si.
La déformation est définie comme le changement de longueur divisé par la longueur initiale. * Longueur initiale (espacement naturel du Ge) = \(a_{Ge}\) * Longueur finale (espacement forcé du Si) = \(a_{Si}\)
Les déformations dans le plan, \(\epsilon_{11}\) et \(\epsilon_{22}\), sont donc égales en raison de la symétrie cubique des matériaux. \[ \begin{aligned} \epsilon_{11} = \epsilon_{22} &= \frac{a_{\text{Si}} - a_{\text{Ge}}}{a_{Ge}} \\ &= \frac{5.428\,{\rm Å} - 5.658\,{\rm Å}}{5.658\, {\rm Å}} \approx -0.0406 \end{aligned} \]
Cela donne une déformation dans le plan d'environ -4,1 %. Le signe négatif indique correctement que le film de Ge est en compression dans les directions x et y. Comme les axes cristallins sont alignés avec notre système de coordonnées, toutes les déformations de cisaillement sont nulles (\(\epsilon_{12} = \epsilon_{13} = \epsilon_{23} = 0\)).
Calcul de la déformation hors plan (\(\epsilon_{33}\))
Le film est comprimé dans le plan x-y, mais il est libre de se dilater ou de se contracter dans la direction z (normale à la surface). Physiquement, puisque la surface supérieure du film est libre, il ne peut y avoir de force agissant sur elle. Cela signifie que la contrainte normale à la surface doit être nulle. \[ \sigma_{33} = 0 \] Nous pouvons maintenant utiliser la loi de Hooke généralisée pour un cristal cubique afin de relier cette contrainte aux déformations. L'équation pour \(\sigma_{33}\) est : \[ \sigma_{33} = c_{12}\epsilon_{11} + c_{12}\epsilon_{22}+c_{11}\epsilon_{33} . \] En utilisant les conditions \(\sigma_{33} = 0\) et \(\epsilon_{11} = \epsilon_{22}\), nous pouvons résoudre pour la déformation hors plan inconnue, \(\epsilon_{33}\). \[ 0 = c_{11}\epsilon_{33} + c_{12}\epsilon_{11} + c_{12}\epsilon_{11} = c_{11}\epsilon_{33} + 2c_{12}\epsilon_{11} \]
En réarrangeant pour \(\epsilon_{33}\) : \[ \epsilon_{33} = - \frac{2c_{12}}{c_{11}} \epsilon_{11} \] Maintenant, nous insérons les valeurs numériques pour le film de germanium :
\[ \epsilon_{33} = - \frac{2 \times 48.2 \, \text{GPa}}{128.5 \, \text{GPa}} \times (-0.0406) \approx +0.0304 \] Cela donne une déformation hors plan d'environ +3,0 %. Le signe positif indique un allongement dans la direction z.
Calcul de la contrainte dans le plan (\(\sigma_{11}\) et \(\sigma_{22}\))
Enfin, nous pouvons calculer les contraintes dans le plan en utilisant la loi de Hooke et les valeurs de déformation que nous avons trouvées. En raison de la symétrie (\(\epsilon_{11}=\epsilon_{22}\)), les contraintes dans le plan seront également égales (\(\sigma_{11}=\sigma_{22}\)). C'est ce qu'on appelle un état de contrainte biaxial.
L'équation pour \(\sigma_{11}\) est : \[ \sigma_{11} = c_{11}\epsilon_{11} + c_{12}\epsilon_{22} + c_{12}\epsilon_{33} \] Substituez l'expression de \(\epsilon_{33}\) dans cette équation : \[ \sigma_{11} = c_{11}\epsilon_{11} + c_{12}\epsilon_{11} + c_{12} \left( - \frac{2c_{12}}{c_{11}} \epsilon_{11} \right) \] Maintenant, nous pouvons factoriser \(\epsilon_{11}\) pour obtenir l'expression finale : \[ \sigma_{11} = \sigma_{22} = \left[ c_{11} + c_{12} - \frac{2c_{12}^2}{c_{11}} \right] \epsilon_{11} \]
En insérant les valeurs numériques pour le Ge : \[ \begin{aligned} \sigma_{11} &= \left[ 128.5 + 48.2 - \frac{2 \times (48.2)^2}{128.5} \right]\times 10^9 \times (-0.0406)\\ &\approx -5.71 \, \text{GPa} \end{aligned} \] La contrainte dans le plan est de -5,7 GPa. Le signe négatif confirme une contrainte de compression importante. Cette contrainte est exceptionnellement élevée et stocke une quantité importante d'énergie de déformation dans le film. En pratique, si le film est cultivé au-delà d'une certaine « épaisseur critique », cette énergie est souvent libérée par la formation de défauts appelés dislocations de désaccord (ou dislocations interfaciales), qui soulageraient une partie de la déformation.
Matériau isotrope
Un matériau isotrope a les mêmes propriétés dans toutes les directions. C'est le plus haut niveau de symétrie matérielle. Pour qu'un matériau soit isotrope, ses relations de comportement (et donc ses constantes élastiques) doivent rester inchangées après toute rotation arbitraire du système de coordonnées.
Nous commençons avec la matrice de rigidité pour un matériau cubique, qui a trois constantes indépendantes (\(c_{11}\), \(c_{12}\) et \(c_{44}\)). Un matériau isotrope est un cas particulier de matériau cubique, nous pouvons donc trouver la contrainte supplémentaire requise pour l'isotropie en imposant l'invariance par rotation.
Considérons un nouveau système de coordonnées (x’, y’, z’) qui est tourné de 45° par rapport au système d'origine (x, y, z) autour de l'axe z. Les relations de transformation pour les composantes de contrainte et de déformation peuvent être dérivées.
Pour nos besoins, nous aurons besoin des relations suivantes pour les composantes de cisaillement dans le plan x’-y’ : \[ \sigma_{1'2'} = \frac{1}{2}(\sigma_{22} - \sigma_{11})\tag{i} \] \[ \epsilon_{1'2'} = \frac{1}{2}(\epsilon_{22} - \epsilon_{11})\tag{ii} \] ou de manière équivalente \[ \gamma_{1'2'} = \epsilon_{22} - \epsilon_{11} \]
Dans le nouveau système de coordonnées (primé), la relation entre la contrainte de cisaillement et la déformation de cisaillement technique doit avoir la même forme que dans le système d'origine. En notation de Voigt, c'est \[\sigma_6 = c_{66} \epsilon_6\] ou \[\sigma_{12}=c_{44}\gamma_{12}.\] Pour un matériau isotrope, la constante élastique \(c_{44}\) doit être la même dans les deux systèmes de coordonnées. Par conséquent, dans le système primé : \[ \sigma_{1'2'} = c_{44}\gamma_{1'2'} \] En substituant (i) et (ii) dans l'équation ci-dessus, on obtient : \[ \frac{1}{2}(\sigma_{22} - \sigma_{11}) = c_{44}(\epsilon_{22} - \epsilon_{11}) \tag{iii} \] Maintenant, exprimons les contraintes \(\sigma_{11}\) et \(\sigma_{22}\) en utilisant la loi de comportement pour un matériau cubique dans le système de coordonnées d'origine : \[ \sigma_{11} = c_{11}\epsilon_{11} + c_{12}\epsilon_{22} \\ \sigma_{22} = c_{12}\epsilon_{11} + c_{11}\epsilon_{22} \] Maintenant, calculons le terme \((\sigma_{22} - \sigma_{11})\) : \[ \sigma_{22} - \sigma_{11} = (c_{12}\epsilon_{11} + c_{11}\epsilon_{22}) - (c_{11}\epsilon_{11} + c_{12}\epsilon_{22}) \\ = (c_{12} - c_{11})\epsilon_{11} + (c_{11} - c_{12})\epsilon_{22} \\ = (c_{11} - c_{12})(\epsilon_{22} - \epsilon_{11}) \] Enfin, substituons ce résultat dans l'équation (iii) : \[ \frac{1}{2}(c_{11} - c_{12})(\epsilon_{22} - \epsilon_{11}) = c_{44}(\epsilon_{22} - \epsilon_{11}) \] Puisque cette relation doit être valable pour tout état de déformation arbitraire, les termes de déformation \((\epsilon_{22} - \epsilon_{11})\) s'annulent, laissant la contrainte requise pour un matériau isotrope : \[ c_{44} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2} \]
Cela ne laisse que 2 constantes indépendantes pour un matériau isotrope. Celles-ci sont généralement exprimées comme les coefficients de Lamé, λ et μ (où μ est le module de cisaillement, G). \[ \begin{aligned} c_{44} &= \mu = G \\ c_{12} &= \lambda \\ \end{aligned} \] \[ \Rightarrow c_{11} = \lambda + 2\mu \] En les substituant dans les équations de comportement, par exemple σ₁₁ : \[ \begin{aligned} \sigma_{11} &= c_{11}\epsilon_{11} + c_{12}\epsilon_{22} + c_{12}\epsilon_{33} \\ &= (\lambda+2\mu)\epsilon_{11} + \lambda\epsilon_{22} + \lambda\epsilon_{33} \\ &= \lambda(\epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}) + 2\mu\epsilon_{11} \end{aligned} \] De même, pour toutes les composantes : \[ \begin{aligned} \sigma_{22} &= \lambda(\epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}) + 2\mu\epsilon_{22} \\ \sigma_{33} &= \lambda(\epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}) + 2\mu\epsilon_{33} \\ \sigma_{23} &= 2\mu\epsilon_{23} \\ \sigma_{13} &= 2\mu\epsilon_{13} \\ \sigma_{12} &= 2\mu\epsilon_{12} \end{aligned} \] Ces relations peuvent être écrites de manière compacte en utilisant la notation tensorielle : \[ \boxed{\sigma_{ij} = \lambda \left(\sum_{k=1}^{3} \epsilon_{kk}\right) \delta_{ij} + 2\mu\epsilon_{ij}} \] où δᵢⱼ est le symbole de Kronecker : \[ \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i=j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases} \] En utilisant la convention de sommation d'Einstein (où la sommation est implicite sur un indice répété), l'équation devient encore plus compacte : \[ \bbox[5px,border:1px #f2f2f2;background-color:#f2f2f2]{\sigma_{ij} = \lambda \epsilon_{kk} \delta_{ij} + 2\mu\epsilon_{ij}} \]
Facteur d'anisotropie
Dans la section sur les matériaux isotropes, nous avons dérivé la condition spécifique que les constantes élastiques d'un matériau cubique doivent satisfaire pour qu'il soit isotrope : \[ c_{44} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2} \] Cette relation fournit un moyen utile de quantifier le degré d'anisotropie élastique dans un cristal cubique. Nous pouvons réorganiser cette expression en un rapport. Cela donne naissance au rapport d'anisotropie de Zener (ou facteur d'anisotropie), noté A, qui est défini comme : \[ A = \frac{2c_{44}}{c_{11} - c_{12}} \] Ce facteur sans dimension fournit une mesure de l'anisotropie d'un matériau :
- Si A = 1, la condition d'isotropie est parfaitement remplie. Les propriétés élastiques du matériau sont les mêmes dans toutes les directions.
- Si A s'écarte de 1, le matériau est anisotrope. L'ampleur de l'écart indique le degré d'anisotropie. Pour de nombreux métaux cubiques, cette valeur peut être significativement différente de 1. Par exemple, la valeur pour le fer est d'environ 2,41, tandis que pour le niobium, elle est de 0,49.
Constantes élastiques de divers matériaux
| Matériau | Cristal | c11 (GPa) | c44 (GPa) | c12 (GPa) | E (GPa) | \(\nu\) | μ (GPa) | A |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ag | fcc | 124.00 | 46.10 | 93.40 | 43.75 | 0.43 | 46.10 | 3.01 |
| Al | fcc | 107.30 | 28.30 | 60.90 | 63.20 | 0.36 | 28.30 | 1.22 |
| Au | fcc | 192.90 | 41.50 | 163.80 | 42.46 | 0.46 | 41.50 | 2.85 |
| Cu | fcc | 168.40 | 75.40 | 121.40 | 66.69 | 0.42 | 75.40 | 3.21 |
| Ir | fcc | 580.00 | 256.00 | 242.00 | 437.51 | 0.29 | 256.00 | 1.51 |
| Ni | fcc | 246.50 | 127.40 | 147.30 | 136.31 | 0.37 | 127.40 | 2.57 |
| Pb | fcc | 49.50 | 14.90 | 42.30 | 10.52 | 0.46 | 14.90 | 4.14 |
| Pd | fcc | 227.10 | 71.70 | 176.00 | 73.41 | 0.44 | 71.70 | 2.81 |
| Pt | fcc | 346.70 | 76.50 | 250.70 | 136.29 | 0.42 | 76.50 | 1.59 |
| Cr | bcc | 339.80 | 99.00 | 58.60 | 322.56 | 0.15 | 99.00 | 0.70 |
| Fe | bcc | 231.40 | 116.40 | 134.70 | 132.28 | 0.37 | 116.40 | 2.41 |
| K | bcc | 4.14 | 2.63 | 2.21 | 2.60 | 0.35 | 2.63 | 2.73 |
| Li | bcc | 13.50 | 8.78 | 11.44 | 3.00 | 0.46 | 8.78 | 8.52 |
| Mo | bcc | 440.80 | 121.70 | 172.40 | 343.86 | 0.28 | 121.70 | 0.91 |
| Na | bcc | 6.15 | 5.92 | 4.96 | 1.72 | 0.45 | 5.92 | 9.95 |
| Nb | bcc | 240.20 | 28.20 | 125.60 | 153.95 | 0.34 | 28.20 | 0.49 |
| Ta | bcc | 260.20 | 82.60 | 154.50 | 145.08 | 0.37 | 82.60 | 1.56 |
| V | bcc | 228.00 | 42.60 | 118.70 | 146.72 | 0.34 | 42.60 | 0.78 |
| W | bcc | 522.40 | 160.80 | 204.40 | 407.43 | 0.28 | 160.80 | 1.01 |
| C | dc | 949.00 | 521.00 | 151.00 | 907.54 | 0.14 | 521.00 | 1.31 |
| Ge | dc | 128.40 | 66.70 | 48.20 | 102.09 | 0.27 | 66.70 | 1.66 |
| Si | dc | 166.20 | 79.80 | 64.40 | 130.23 | 0.28 | 79.80 | 1.57 |
| GaAs | — | 118.80 | 59.40 | 53.70 | 85.37 | 0.31 | 59.40 | 1.82 |
| GaP | — | 141.20 | 70.50 | 62.50 | 102.85 | 0.31 | 70.50 | 1.79 |
| InP | — | 102.20 | 46.00 | 57.60 | 60.68 | 0.36 | 46.00 | 2.06 |
| KCl | — | 39.50 | 6.30 | 4.90 | 38.42 | 0.11 | 6.30 | 0.36 |
| LiF | — | 114.00 | 63.60 | 47.70 | 85.86 | 0.29 | 63.60 | 1.92 |
| MgO | — | 287.60 | 151.40 | 87.40 | 246.86 | 0.23 | 151.40 | 1.51 |
| NaCl | — | 49.60 | 12.90 | 12.40 | 44.64 | 0.20 | 12.90 | 0.69 |
| TiC | — | 500.00 | 175.00 | 113.00 | 458.34 | 0.18 | 175.00 | 0.9 |
Références
- Nye, J. F. (1985). Physical properties of crystals: Their representation by tensors and matrices. Oxford University Press.
- Shames, I. H., & Cozzarelli, F. A. (1992). Elastic and inelastic stress analysis (2nd ed.). Prentice Hall.
- Sokolnikoff, I. S. (1956). Mathematical theory of elasticity (2nd ed.). McGraw-Hill.
- Cette hypothèse n'est cependant pas essentielle. Dans les théories non locales de l'élasticité, la contrainte en un point peut dépendre non seulement de la déformation en ce point mais aussi de sa variation spatiale (c.-à-d. le gradient de déformation) ou, plus généralement, du champ de déformation dans les points voisins. Dans la théorie de l'élasticité non locale proposée par C. Eringen, la contrainte en un point est liée à la déformation à travers le corps entier par une relation intégrale. Plus précisément, la contrainte est exprimée comme une moyenne pondérée de la déformation sur le domaine, où la fonction de pondération attribue une plus grande influence aux déformations aux points proches et diminue progressivement la contribution des points plus éloignés. Ainsi, en élasticité non locale, la réponse du matériau reflète des interactions à longue portée, capturant des effets que l'élasticité classique (locale) ne peut pas décrire avec précision, en particulier à de petites échelles de longueur ou dans des matériaux avec une microstructure.↩︎
- Plus spécifiquement, \(C_{ijkl}\) est un tenseur de rang quatre, ce qui signifie que ses composantes se transforment entre les systèmes de coordonnées selon \[C_{m'n'o'p'} = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\sum_{l=1}^{3} l_{im'} \, l_{jn'} \, l_{ko'} \, l_{lp'} \, C_{ijkl}, \]où \(l_{im'} = \hat{\mathbf{e}}_{m'} \cdot \hat{\mathbf{e}}_i\) sont les cosinus directeurs entre les nouveaux et les anciens axes de coordonnées. Ici, \(\hat{\mathbf{e}}_{m'}\) et \(\hat{\mathbf{e}}_i\) désignent des vecteurs unitaires le long du \(m'\)-ième et du \(i\)-ième axe de coordonnées dans les nouveaux et les anciens systèmes de coordonnées, respectivement.↩︎
- Ici, nous avons supposé que les dérivées partielles secondes sont continues.↩︎
- En termes de tenseur de rigidité \[ \frac{\partial^2 U_0}{\partial \epsilon_{kl}\partial \epsilon_{ij}}=\frac{\partial^2 U_0}{\partial \epsilon_{kl}\partial \epsilon_{ij}} \Rightarrow C_{{\color{red}{ij}}{\color{blue}{kl}}}=C_{{\color{blue}{kl}}{\color{red}{ij}}} \]↩︎
- Cet exemple est tiré des notes de cours du professeur Zhigang Suo (2008) pour Engineering Science 240 : Solid Mechanics.↩︎