Loi de Hooke généralisée

In classical elasticity, it is assumed that the stress at each point depends only on the elastic strain components at that same point.¹ In other words, the theory is local — the mechanical response at a point is determined solely by the state of deformation there: $σ_{i j} = F_{i j} (ϵ_{11}, ϵ_{22}, \dots, ϵ_{12}) (i, j = 1, 2, 3)$ Additionally, we assume that there is no stress if all components of strain are zero (unless there are residual stresses).

Stiffness and Compliance Tensors

Expanding $F_{i j}$ in power series: or more concisely: $σ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} ϵ_{k l} .$ where $C_{i j k l}$ is called the stiffness tensor or the tensor of elastic constants or elastic moduli of the material.²

In general, $C_{i j k l} = C_{i j k l} (𝐱)$ ; that is, the elastic coefficients vary from point to point. If $C_{i j k l}$ is independent of the position, we say that the material is homogeneous.

The system of linear equations in (*) can be solved for $ϵ_{11}$ , $ϵ_{12}$ , …, $ϵ_{33}$ , and we can express them in terms of $σ_{11}$ , $σ_{12}$ , …, $σ_{33}$ . The result will be another system of linear equations: or more concisely: $ϵ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} S_{i j k l} σ_{k l} .$ Here we are dealing with another fourth rank tensor S_ijkl, which is called compliance tensor.

Since $i, j, k$ , and $l$ , each vary between 1, 2, and 3, $C_{i j k l}$ (or $S_{i j k l}$ ) has 81 components. However, not all of them are independent. Using some symmetry, we can reduce the number of independent components. In this section, we will see that, if the material is isotropic, meaning that its properties are the same in all directions, only two elastic moduli are enough to specify all stiffness components.

The first thing that we can use to reduce the number of independent components is the symmetry of stress and strain. Symmetry of stress $σ_{i j} = σ_{j i}$ implies that is symmetric with respect to the first two indices: $C_{i j k l} = C_{j i k l} .$ Similarly, symmetry of stain $ϵ_{k l} = ϵ_{l k}$ implies that $C_{i j k l}$ is symmetric with respect to the last two indices $C_{i j k l} = C_{i j l k} .$ Since each pair of $(i j)$ and $(k l)$ can take on six different value (1,1), (2,2), (3,3), (1, 2) = (2,1), (1,3) = (3,1), (2, 3)=(3,2), there are only 36 different elastic constants, at most.

Voigt Notation

Using double notation (e.g., σᵢⱼ) and dealing with a fourth-rank tensor C_ijkl is cumbersome. Therefore, we introduce Voigt notation to simplify the representation of stress and strain.

Les composantes du tenseur des contraintes sont disposées dans un vecteur colonne 6x1 : $[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \\ σ_{3} \\ σ_{4} \\ σ_{5} \\ σ_{6} \end{matrix}]$ C'est-à-dire que nous les numérotons selon ce qui suit : $[\begin{matrix} ① & ⑥ & ⑤ \\ ② & ④ \\ ③ \end{matrix}]$ De même, les composantes de déformation correspondantes sont disposées dans un vecteur 6x1. Notez les facteurs de 2 pour les déformations de cisaillement, qui sont introduits pour assurer la conjugaison de travail entre les vecteurs de contrainte et de déformation.

$[\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ 2 ϵ_{23} \\ 2 ϵ_{13} \\ 2 ϵ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ϵ_{3} \\ ϵ_{4} \\ ϵ_{5} \\ ϵ_{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ γ_{23} \\ γ_{13} \\ γ_{12} \end{matrix}]$

Remarque : Ne confondez pas σ₁, σ₂, σ₃ et ε₁, ε₂, ε₃ avec les valeurs principales des contraintes et des déformations. Ici, nous les utilisons avec une signification totalement différente.

Matrice des coefficients d'élasticité

En utilisant la notation de Voigt, la relation linéaire entre la contrainte et la déformation peut s'écrire à l'aide d'une matrice [c_mn] :

$[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} & c_{16} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} & c_{26} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{61} & \dots & c_{66} \end{matrix}] [\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ γ_{23} \\ γ_{13} \\ γ_{12} \end{matrix}]$

D'après ce qui précède, il est clair que pour exprimer la contrainte en fonction de la déformation, nous avons besoin de 36 constantes indépendantes dans la matrice de rigidité [c].

Remarque : Bien que Cᵢⱼₖₗ soit un tenseur du quatrième ordre, la matrice 6x6 cₘₙ en notation de Voigt n'est pas un tenseur. Par conséquent, nous ne pouvons pas utiliser les règles de transformation des tenseurs pour trouver ses composantes dans un nouveau système de coordonnées. Nous devons d'abord transformer les composantes de contrainte et de déformation, puis en déduire la nouvelle matrice de rigidité.

Énergie de déformation

Précédemment, nous avons montré que la densité d'énergie de déformation, U₀, est donnée par S'il existe une fonction de densité d'énergie de déformation, nous pouvons exprimer la contrainte sous la forme : $σ_{i j} = \frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ_{i j}}$ En utilisant la notation de Voigt, nous pouvons écrire la densité d'énergie de déformation sous la forme $d U_{0} = σ_{1} d ϵ_{1} + σ_{2} d ϵ_{2} + σ_{3} d ϵ_{3} + σ_{4} d ϵ_{4} + \dots + σ_{6} d ϵ_{6}$ et $σ_{i} = \frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ_{i}}$ Si le matériau est élastique linéaire, nous avons $σ_{i} = \sum_{j = 1}^{6} c_{i j} ϵ_{j}$ . En substituant cela dans l'expression de dU₀ : $d U_{0} = \sum_{i = 1}^{6} σ_{i} d ϵ_{i} = \sum_{i = 1}^{6} \sum_{k = 1}^{6} c_{i k} ϵ_{k} d ϵ_{i}$ L'intégration de cette expression donne la densité d'énergie de déformation : $U_{0} = \sum_{i = 1}^{6} \sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2} c_{i k} ϵ_{k} ϵ_{i}$ En dérivant partiellement deux fois, nous trouvons : $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{i} \partial ϵ_{j}} = \frac{\partial}{\partial ϵ_{i}} (\frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ_{j}}) = \frac{\partial σ_{j}}{\partial ϵ_{i}} = c_{j i}$ $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{j} \partial ϵ_{i}} = \frac{\partial σ_{i}}{\partial ϵ_{j}} = c_{i j}$ Puisque l'ordre de dérivation n'a pas d'importance pour une fonction³ : $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{i} \partial ϵ_{j}} = \frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{j} \partial ϵ_{i}}$ nous devons avoir :⁴ $c_{j i} = c_{i j}$ Cela signifie que la matrice de rigidité [c] doit être symétrique. Cette symétrie réduit le nombre de constantes élastiques différentes à 21 (6 éléments diagonaux + 15 éléments au-dessus de la diagonale).

L'effet de la symétrie du matériau

Le nombre de constantes élastiques indépendantes (21 pour le cas anisotrope le plus général) peut être réduit si la structure du matériau présente une certaine forme de symétrie.

Matériau avec un plan de symétrie

Supposons que le matériau présente un plan de symétrie matérielle en z=0 (le plan xy). Cela signifie que la réponse du matériau est identique si nous appliquons une symétrie au système de coordonnées par rapport à ce plan. Définissons un nouveau système de coordonnées (x’, y’, z’) tel que : Dans le nouveau système de coordonnées, en raison de la symétrie du matériau, les coefficients élastiques restent invariants, mais sous cette transformation, les composantes de contrainte et de déformation changent comme suit : La relation constitutive pour σₓₓ doit être la même dans les deux systèmes de coordonnées. Dans le système d'origine : $σ_{x x} = c_{11} ϵ_{x x} + c_{12} ϵ_{y y} + c_{13} ϵ_{z z} + c_{14} γ_{y z} + c_{15} γ_{x z} + c_{16} γ_{x y}$ Dans le nouveau système : En substituant les composantes transformées : $σ_{x x} = c_{11} ϵ_{x x} + c_{12} ϵ_{y y} + c_{13} ϵ_{z z} - c_{14} γ_{y z} - c_{15} γ_{x z} + c_{16} γ_{x y}$ Pour que les deux équations soient identiques pour toutes les déformations possibles, nous devons avoir : $c_{14} = - c_{14} ⟹ c_{14} = 0$ $c_{15} = - c_{15} ⟹ c_{15} = 0$ En appliquant la même logique aux autres composantes de contrainte, nous trouvons que c₂₄ = c₂₅ = c₃₄ = c₃₅ = c₄₆ = c₅₆ = 0. La matrice élastique se simplifie en : $[c_{m n}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & c_{16} \\ c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & c_{26} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & c_{36} \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & c_{45} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{45} & c_{55} & 0 \\ c_{16} & c_{26} & c_{36} & 0 & 0 & c_{66} \end{matrix}]$ Cela réduit à 13 le nombre de constantes élastiques nécessaires pour spécifier le tenseur de rigidité.

Matériau orthotrope

Un matériau orthotrope possède trois plans de symétrie mutuellement perpendiculaires et trois axes orthogonaux correspondants. De nombreux matériaux, tels que le bois, les tôles métalliques laminées, les stratifiés renforcés de fibres et le béton armé, peuvent être traités comme orthotropes.

Si nous alignons nos axes de coordonnées avec les normales de ces plans, la matrice se simplifie davantage. L'application d'un second plan de symétrie (par exemple, le plan xz) annulera des coefficients supplémentaires. La matrice résultante pour un matériau orthotrope est : $[c_{m n}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & 0 \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66} \end{matrix}]$ Le nombre de constantes indépendantes est désormais de 9.

Matériau cubique

Un matériau cubique présente la symétrie d'un cube. En plus d'être orthotrope, ses propriétés sont identiques si l'on permute les axes de coordonnées (par ex., x → y, y → z, z → x). Cela impose des contraintes supplémentaires : La matrice des constantes élastiques pour un matériau cubique ne possède que 3 constantes indépendantes : $c_{11}, c_{12}$ et $c_{44}$ : $[c_{m n}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{11} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{12} & c_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} \end{matrix}]$ De nombreux matériaux, y compris ceux ayant des structures FCC, BCC et cubiques diamant, présentent une symétrie cubique. Des exemples de tels matériaux incluent l'aluminium, le cuivre, le nickel, l'argent, l'or, le fer, le silicium, le germanium.

Exemple 1.

Exemple :⁵ Le silicium (Si) et le germanium (Ge) sont tous deux des cristaux dotés d'une maille élémentaire cubique. La longueur de l'arête de la maille de Si est $a_{Si} = 5.428$ Å, et celle de Ge est $a_{Ge} = 5.658$ Å. Un film de Ge, d'une épaisseur de 10 nm, est crû par épitaxie (c'est-à-dire avec des positions atomiques correspondantes) sur la surface d'un substrat de Si de 100 µm d'épaisseur. Calculez les composantes de contrainte et de déformation dans le film de Ge.

Les constantes élastiques respectives sont données en GPa :

Si : $c_{11} = 165.8$ , $c_{12} = 63.9$ , $c_{44} = 79.6$ .
Ge : $c_{11} = 128.5$ , $c_{12} = 48.2$ , $c_{44} = 66.7$ .

Solution

Le problème décrit un film mince de germanium crû sur un substrat de silicium beaucoup plus épais. Cette configuration est courante dans l'industrie des semi-conducteurs.

Croissance épitaxiale : Cela signifie que le réseau cristallin du film de Ge est contraint de s'aligner avec le réseau cristallin du substrat de Si au niveau de l'interface.
Hypothèse du substrat épais : Comme le substrat de Si (100 µm) est largement plus épais que le film de Ge (10 nm), nous pouvons supposer que le substrat est un gabarit rigide. Il ne fléchit pas et ne subit pas de déformation en raison de la présence du film mince. Le film doit subir toute la déformation.
Système de coordonnées : Nous définissons un système de coordonnées où les axes 1 (x) et 2 (y) sont dans le plan du film, parallèles aux arêtes du cube cristallin, et l'axe 3 (z) est normal à la surface du film.

Calcul de la déformation dans le plan ( $ϵ_{11}$ et $ϵ_{22}$ )

La contrainte dans le film provient du désaccord de maille entre le Ge et le Si. La constante de réseau naturelle du Ge est plus grande que celle du Si. Pour croître par épitaxie, les atomes de Ge doivent se comprimer dans le plan du film pour s'adapter à l'espacement plus petit des atomes de Si.

La déformation est définie comme la variation de longueur divisée par la longueur initiale. * Longueur initiale (espacement naturel du Ge) = $a_{G e}$ * Longueur finale (espacement forcé du Si) = $a_{S i}$

Les déformations dans le plan, $ϵ_{11}$ et $ϵ_{22}$ , sont donc égales en raison de la symétrie cubique des matériaux.

Cela donne une déformation dans le plan d'environ -4,1 %. Le signe négatif indique correctement que le film de Ge est sous compression dans les directions x et y. Comme les axes cristallins sont alignés avec notre système de coordonnées, toutes les déformations de cisaillement sont nulles ( $ϵ_{12} = ϵ_{13} = ϵ_{23} = 0$ ).

Calcul de la déformation hors plan ( $ϵ_{33}$ )

Le film est comprimé dans le plan x-y, mais il est libre de se dilater ou de se contracter dans la direction z (normale à la surface). Physiquement, puisque la surface supérieure du film est libre, aucune force ne peut s'exercer sur elle. Cela signifie que la contrainte normale à la surface doit être nulle. $σ_{33} = 0$ Nous pouvons maintenant utiliser la loi de Hooke généralisée pour un cristal cubique afin de relier cette contrainte aux déformations. L'équation pour $σ_{33}$ est : $σ_{33} = c_{12} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22} + c_{11} ϵ_{33} .$ En utilisant les conditions $σ_{33} = 0$ et $ϵ_{11} = ϵ_{22}$ , nous pouvons résoudre pour la déformation hors plan inconnue, $ϵ_{33}$ . $0 = c_{11} ϵ_{33} + c_{12} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{11} = c_{11} ϵ_{33} + 2 c_{12} ϵ_{11}] < / p >< p > E n r é a r r a n g e a n t p o u r $ϵ_{33} $ : \[ϵ_{33} = - \frac{2 c_{12}}{c_{11}} ϵ_{11}$ Maintenant, nous insérons les valeurs numériques pour le film de germanium :

$ϵ_{33} = - \frac{2 \times 48.2 GPa}{128.5 GPa} \times (- 0.0406) \approx + 0.0304$ Cela donne une déformation hors plan d'environ +3,0 %. Le signe positif indique une élongation dans la direction z.

Calcul de la contrainte dans le plan ( $σ_{11}$ et $σ_{22}$ )

Enfin, nous pouvons calculer les contraintes dans le plan en utilisant la loi de Hooke et les valeurs de déformation trouvées. En raison de la symétrie ( $ϵ_{11} = ϵ_{22}$ ), les contraintes dans le plan seront également égales ( $σ_{11} = σ_{22}$ ). C'est ce qu'on appelle un état de contrainte biaxiale.

L'équation pour $σ_{11}$ est : $σ_{11} = c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22} + c_{12} ϵ_{33}$ Substituez l'expression de $ϵ_{33}$ dans cette équation : $σ_{11} = c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{11} + c_{12} (- \frac{2 c_{12}}{c_{11}} ϵ_{11})$ Maintenant, nous pouvons factoriser $ϵ_{11}$ pour obtenir l'expression finale : $σ_{11} = σ_{22} = [c_{11} + c_{12} - \frac{2 c_{12}^{2}}{c_{11}}] ϵ_{11}$

En insérant les valeurs numériques pour le Ge : La contrainte dans le plan est de -5,7 GPa. Le signe négatif confirme une contrainte de compression importante. Cette contrainte est exceptionnellement élevée et stocke une quantité importante d'énergie de déformation dans le film. En pratique, si le film croît au-delà d'une certaine « épaisseur critique », cette énergie est souvent libérée par la formation de défauts appelés dislocations de désaccord de maille, ce qui libérerait une partie de la déformation.

Matériau isotrope

Un matériau isotrope a les mêmes propriétés dans toutes les directions. Il s'agit du niveau le plus élevé de symétrie des matériaux. Pour qu'un matériau soit isotrope, ses relations constitutives (et donc ses constantes élastiques) doivent rester inchangées après toute rotation arbitraire du système de coordonnées.

Nous commençons par la matrice de rigidité d'un matériau cubique, qui possède trois constantes indépendantes ( $c_{11}$ , $c_{12}$ et $c_{44}$ ). Un matériau isotrope est un cas particulier de matériau cubique, nous pouvons donc trouver la contrainte supplémentaire requise pour l'isotropie en imposant l'invariance rotationnelle.

En faisant tourner les axes x et y de 45° autour de l'axe z et en exigeant que la relation contrainte-déformation de cisaillement conserve la même forme dans le système tourné, nous trouvons que pour un matériau isotrope, les constantes élastiques doivent satisfaire

c_{44} = \frac{1}{2} (c_{11} - c_{12}) .

Considérons un nouveau système de coordonnées (x’, y’, z’) tourné de 45° par rapport au système d'origine (x, y, z) autour de l'axe z. Les relations de transformation pour les composantes de contrainte et de déformation peuvent être dérivées.

Pour nos besoins, nous aurons besoin des relations suivantes pour les composantes de cisaillement dans le plan x’-y’ : ou de manière équivalente

Dans le nouveau système de coordonnées (avec prime), la relation entre la contrainte de cisaillement et la déformation de cisaillement technique doit avoir la même forme que dans le système d'origine. En notation de Voigt, cela s'écrit $σ_{6} = c_{66} ϵ_{6}$ ou $σ_{12} = c_{44} γ_{12} .$ Pour un matériau isotrope, la constante élastique $c_{44}$ doit être la même dans les deux systèmes de coordonnées. Par conséquent, dans le système avec prime : En substituant (i) et (ii) dans l'équation ci-dessus, on obtient : Exprimons maintenant les contraintes $σ_{11}$ et $σ_{22}$ en utilisant la loi de comportement d'un matériau cubique dans le système de coordonnées d'origine : $σ_{11} = c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22} σ_{22} = c_{12} ϵ_{11} + c_{11} ϵ_{22}$ Calculons maintenant le terme $(σ_{22} - σ_{11})$ : $σ_{22} - σ_{11} = (c_{12} ϵ_{11} + c_{11} ϵ_{22}) - (c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22}) = (c_{12} - c_{11}) ϵ_{11} + (c_{11} - c_{12}) ϵ_{22} = (c_{11} - c_{12}) (ϵ_{22} - ϵ_{11})$ Enfin, nous substituons ce résultat dans l'équation (iii) : $\frac{1}{2} (c_{11} - c_{12}) (ϵ_{22} - ϵ_{11}) = c_{44} (ϵ_{22} - ϵ_{11})$ Comme cette relation doit être vérifiée pour tout état de déformation arbitraire, les termes de déformation $(ϵ_{22} - ϵ_{11})$ se simplifient, laissant la contrainte requise pour un matériau isotrope : $c_{44} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2}$

Cela ne laisse que 2 constantes indépendantes pour un matériau isotrope. Celles-ci sont généralement exprimées sous la forme des paramètres de Lamé, λ et μ (où μ est le module de cisaillement, G). $\Rightarrow c_{11} = λ + 2 μ$ En substituant ces valeurs dans les équations constitutives, par exemple σ₁₁ : De même, pour toutes les composantes : Ces relations peuvent s'écrire de manière compacte en utilisant la notation tensorielle : $σ_{i j} = λ (\sum_{k = 1}^{3} ϵ_{k k}) δ_{i j} + 2 μ ϵ_{i j}$ où δᵢⱼ est le symbole de Kronecker : En utilisant la convention de sommation d'Einstein (où la sommation est implicite sur un indice répété), l'équation devient encore plus compacte :

Facteur d'anisotropie

Dans la section sur les matériaux isotropes, nous avons dérivé la condition spécifique que les constantes élastiques d'un matériau cubique doivent satisfaire pour qu'il soit isotrope : $c_{44} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2}$ Cette relation fournit un moyen utile de quantifier le degré d'anisotropie élastique dans un cristal cubique. Nous pouvons réarranger cette expression sous forme de rapport. Cela donne lieu au rapport d'anisotropie de Zener (ou facteur d'anisotropie), noté A, qui est défini comme : $A = \frac{2 c_{44}}{c_{11} - c_{12}}$ Ce facteur adimensionnel fournit une mesure du degré d'anisotropie d'un matériau :

Si A = 1, la condition d'isotropie est parfaitement remplie. Les propriétés élastiques du matériau sont les mêmes dans toutes les directions.
Si A s'écarte de 1, le matériau est anisotrope. L'ampleur de l'écart indique le degré d'anisotropie. Pour de nombreux métaux cubiques, cette valeur peut être significativement différente de 1. Par exemple, la valeur pour le fer est d'environ 2,41, tandis que pour le niobium, elle est de 0,49.

Constantes élastiques de divers matériaux

Matériau	Cristal	c₁₁ (GPa)	c₄₄ (GPa)	c₁₂ (GPa)	E (GPa)	$ν$	μ (GPa)	A

Ag	cfc	124.00	46.10	93.40	43.75	0.43	46.10	3.01
Al	cfc	107.30	28.30	60.90	63.20	0.36	28.30	1.22
Au	cfc	192.90	41.50	163.80	42.46	0.46	41.50	2.85
Cu	cfc	168.40	75.40	121.40	66.69	0.42	75.40	3.21
Ir	cfc	580.00	256.00	242.00	437.51	0.29	256.00	1.51
Ni	cfc	246.50	127.40	147.30	136.31	0.37	127.40	2.57
Pb	cfc	49.50	14.90	42.30	10.52	0.46	14.90	4.14
Pd	cfc	227.10	71.70	176.00	73.41	0.44	71.70	2.81
Pt	cfc	346.70	76.50	250.70	136.29	0.42	76.50	1.59
Cr	cc	339.80	99.00	58.60	322.56	0.15	99.00	0.70

Fe	bcc	231.40	116.40	134.70	132.28	0.37	116.40	2.41
K	bcc	4.14	2.63	2.21	2.60	0.35	2.63	2.73
Li	bcc	13.50	8.78	11.44	3.00	0.46	8.78	8.52
Mo	bcc	440.80	121.70	172.40	343.86	0.28	121.70	0.91
Na	bcc	6.15	5.92	4.96	1.72	0.45	5.92	9.95
Nb	bcc	240.20	28.20	125.60	153.95	0.34	28.20	0.49
Ta	bcc	260.20	82.60	154.50	145.08	0.37	82.60	1.56
V	bcc	228.00	42.60	118.70	146.72	0.34	42.60	0.78
W	bcc	522.40	160.80	204.40	407.43	0.28	160.80	1.01
C	dc	949.00	521.00	151.00	907.54	0.14	521.00	1.31

Ge	dc	128.40	66.70	48.20	102.09	0.27	66.70	1.66
Si	dc	166.20	79.80	64.40	130.23	0.28	79.80	1.57
GaAs	—	118.80	59.40	53.70	85.37	0.31	59.40	1.82
GaP	—	141.20	70.50	62.50	102.85	0.31	70.50	1.79
InP	—	102.20	46.00	57.60	60.68	0.36	46.00	2.06
KCl	—	39.50	6.30	4.90	38.42	0.11	6.30	0.36
LiF	—	114.00	63.60	47.70	85.86	0.29	63.60	1.92
MgO	—	287.60	151.40	87.40	246.86	0.23	151.40	1.51
NaCl	—	49.60	12.90	12.40	44.64	0.20	12.90	0.69
TiC	—	500.00	175.00	113.00	458.34	0.18	175.00	0.9

Référence

Références

Nye, J. F. (1985). Propriétés physiques des cristaux : Leur représentation par tenseurs et matrices. Oxford University Press.
Shames, I. H., & Cozzarelli, F. A. (1992). Analyse des contraintes élastiques et inélastiques (2e éd.). Prentice Hall.
Sokolnikoff, I. S. (1956). Théorie mathématique de l'élasticité (2e éd.). McGraw-Hill.

Cette hypothèse n'est toutefois pas essentielle. Dans les théories non locales de l'élasticité, la contrainte en un point peut dépendre non seulement de la déformation en ce point, mais également de sa variation spatiale (c'est-à-dire le gradient de déformation) ou, plus généralement, du champ de déformation dans les points voisins. Dans la théorie de l'élasticité non locale proposée par C. Eringen, la contrainte en un point est liée à la déformation dans l'ensemble du corps par une relation intégrale. Plus précisément, la contrainte est exprimée comme une moyenne pondérée de la déformation sur le domaine, où la fonction de pondération attribue une influence plus grande aux déformations aux points proches et diminue progressivement la contribution des points plus éloignés. Ainsi, en élasticité non locale, la réponse du matériau reflète des interactions à longue portée, capturant des effets que l'élasticité classique (locale) ne peut décrire avec précision, en particulier aux petites échelles de longueur ou dans les matériaux à microstructure.↩︎
Plus précisément, $C_{i j k l}$ est un tenseur de quatrième ordre, ce qui signifie que ses composantes se transforment entre les systèmes de coordonnées selon où sont les cosinus directeurs entre les nouveaux et anciens axes de coordonnées. Ici, et ${\hat{𝐞}}_{i}$ désignent les vecteurs unitaires le long des axes de coordonnées et $i$ dans les nouveaux et anciens systèmes de coordonnées, respectivement.↩︎
Nous avons supposé ici que les dérivées partielles secondes sont continues.↩︎
En termes de tenseur de rigidité $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{k l} \partial ϵ_{i j}} = \frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{k l} \partial ϵ_{i j}} \Rightarrow C_{i j k l} = C_{k l i j}$ ↩︎
Cet exemple est tiré des notes de cours du professeur Zhigang Suo (2008) pour le cours Engineering Science 240 : Mécanique des solides.↩︎