Énergie de déformation

Énergie interne et premier principe de la thermodynamique

Lorsque des forces extérieures sont appliquées sur un corps déformable, ces forces effectuent un travail sur le corps. Selon le premier principe de la thermodynamique, le travail effectué sur le système par les forces extérieures, \(\delta W\), et la chaleur qui circule vers le système, \(\delta Q\), est égal à la variation de son énergie interne, \(\delta U\), et de son énergie cinétique, \(\delta K\) : \[ \delta W + \delta Q = \delta U + \delta K. \]

Dans des conditions adiabatiques (\(\delta Q = 0\)) et d'équilibre quasi-statique (\(\delta K = 0\)), cela se réduit à : \[ \delta W = \delta U \] Ainsi, le travail extérieur infinitésimal effectué sur le corps est entièrement stocké sous forme d'énergie interne.

Travail virtuel des forces extérieures

Soit le champ de déplacement dans le corps \[ \mathbf{u} = (u, v, w) \] et soient \[ \delta \mathbf{u} = (\delta u, \delta v, \delta w) \] des déplacements virtuels infinitésimaux, qui sont de petites variations arbitraires du champ de déplacement compatibles avec les conditions aux limites.

Les déformations virtuelles infinitésimales correspondantes sont obtenues à partir des gradients de déplacement virtuel : \[ \delta \epsilon_{xx} = \frac{\partial (\delta u)}{\partial x}, \quad \delta \epsilon_{yy} = \frac{\partial (\delta v)}{\partial y}, \quad \delta \epsilon_{zz} = \frac{\partial (\delta w)}{\partial z} \] et les déformations de cisaillement : \[ \delta \gamma_{xy} = \frac{\partial (\delta u)}{\partial y} + \frac{\partial (\delta v)}{\partial x}, \quad \text{etc.} \]

Le travail extérieur effectué par les forces extérieures se compose de deux parties : 1. Le travail des forces de surface (tractions), \(\delta W_S\), et
2. Le travail des forces de volume, \(\delta W_B\).

Ainsi, \[ \delta W = \delta W_S + \delta W_B \]

Le travail des forces de volume est donné par \[ \boxed{ \delta W_B = \int_V \rho \mathbf b \cdot \delta \mathbf u \, dV } \] où \(\mathbf b = [b_x, b_y, b_z]\) est la force de volume par unité de masse.

Le travail des forces de surface est donné par \[ \boxed{\delta W_S=\int_s \mathbf{t}\boldsymbol{\cdot}\hat{\mathbf{n}}\ dS} \]

Pour un élément de surface avec une normale extérieure
\[\mathbf n = [n_x \; n_y \; n_z],\] le vecteur contrainte est défini comme : \[ \mathbf t = \mathbf n \cdot \boldsymbol{\sigma} \] où \(\boldsymbol{\sigma}\) est la matrice des contraintes de Cauchy : \[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \]

et le déplacement virtuel est le vecteur colonne : \[ \delta \mathbf{u} = \begin{bmatrix} \delta u \\ \delta v \\ \delta w \end{bmatrix}. \]

Par conséquent, le travail virtuel sur la surface est : \[ \boxed{ \delta W_S = \int_S \mathbf t \cdot \delta \mathbf u \, dS = \int_S (\mathbf n \, \boldsymbol{\sigma}) \, \delta \mathbf u \, dS } \]

En développant ce terme explicitement comme indiqué dans votre dérivation : \[ \begin{aligned} \mathbf n \cdot \boldsymbol{\sigma} \cdot \delta \mathbf u &= \begin{bmatrix} n_x & n_y & n_z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta u \\ \delta v \\ \delta w \end{bmatrix}\\ &=n_x(\sigma_{xx}\delta u + \sigma_{xy}\delta v + \sigma_{xz}\delta w) + n_y(\sigma_{yx}\delta u + \sigma_{yy}\delta v + \sigma_{yz}\delta w)\\ &\qquad + n_z(\sigma_{zx}\delta u + \sigma_{zy}\delta v + \sigma_{zz}\delta w) \end{aligned} \]

Définissons le vecteur \[ \mathbf F = \boldsymbol{\sigma} \, \delta \mathbf u = \begin{bmatrix} \sigma_{xx}\delta u + \sigma_{xy}\delta v + \sigma_{xz}\delta w \\ \sigma_{yx}\delta u + \sigma_{yy}\delta v + \sigma_{yz}\delta w \\ \sigma_{zx}\delta u + \sigma_{zy}\delta v + \sigma_{zz}\delta w \end{bmatrix}, \] alors \[ \boxed{ \mathbf t \cdot \delta \mathbf u = n_x F_x + n_y F_y + n_z F_z } \] Cela montre clairement que l'expression \(\mathbf t \cdot \delta \mathbf u\) agit comme le produit scalaire du vecteur normal \(\mathbf n\) avec le vecteur \(\mathbf F = \boldsymbol{\sigma}\, \delta \mathbf u\).

Utilisation du théorème de la divergence

Appliquons le théorème de la divergence pour convertir l'intégrale de surface en une intégrale de volume : \[ \boxed{ \int_S (F_x n_x + F_y n_y + F_z n_z) \, dS = \int_V \left( \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \right) dV } \]

Par conséquent, \[ \delta W_S = \int_V \left( \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \right) dV \]

\[ \begin{aligned} \delta W = \int_S &\mathbf t \cdot \delta \mathbf u \, dS + \int_V \rho \mathbf b \cdot \delta \mathbf u \, dV\\ = \int \Bigg( &\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} \, \delta u + \sigma_{xx} \frac{\partial (\delta u)}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x} \, \delta v + \sigma_{xy} \frac{\partial (\delta v)}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x} \, \delta w + \sigma_{xz} \frac{\partial (\delta w)}{\partial x}\\ &+ \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} \, \delta u + \sigma_{yx} \frac{\partial (\delta u)}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} \, \delta v + \sigma_{yy} \frac{\partial (\delta v)}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y} \, \delta w + \sigma_{yz} \frac{\partial (\delta w)}{\partial y}\\ &+ \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} \, \delta u + \sigma_{zx} \frac{\partial (\delta u)}{\partial z} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial z} \, \delta v + \sigma_{zy} \frac{\partial (\delta v)}{\partial z} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \, \delta w + \sigma_{zz} \frac{\partial (\delta w)}{\partial z} \Bigg) dV\\ &+ \int (\rho b_x \delta u + \rho b_y \delta v + \rho b_z \delta w) \, dV\\ = \int &\Bigg\{ \left( \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} + \rho b_x \right) \delta u + \left( \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial z} + \rho b_y \right) \delta v\\ &+ \left( \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + \rho b_z \right) \delta w + \sigma_{xx} \frac{\partial (\delta u)}{\partial x} + \sigma_{yy} \frac{\partial (\delta v)}{\partial y} + \sigma_{zz} \frac{\partial (\delta w)}{\partial z}\\ &+ \sigma_{xy} \left( \frac{\partial (\delta v)}{\partial x} + \frac{\partial (\delta u)}{\partial y} \right) + \sigma_{xz} \left( \frac{\partial (\delta w)}{\partial x} + \frac{\partial (\delta u)}{\partial z} \right) + \sigma_{yz} \left( \frac{\partial (\delta v)}{\partial z} + \frac{\partial (\delta w)}{\partial y} \right) \Bigg\} dV\\ \end{aligned} \] Puisque \[ \frac{\partial \sigma_{xi}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yi}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zi}}{\partial z} + \rho b_i = 0, \] nous concluons que \[ \delta W = \int_V \left( \sigma_{xx}\,\delta \epsilon_{xx} + \sigma_{yy}\,\delta \epsilon_{yy} + \sigma_{zz}\,\delta \epsilon_{zz} + \sigma_{xy}\,\delta \gamma_{xy} + \sigma_{xz}\,\delta \gamma_{xz} + \sigma_{yz}\,\delta \gamma_{yz} \right) dV. \]

Densité d'énergie de déformation

Il découle du premier principe de la thermodynamique dans des conditions adiabatiques et statiques (\(\delta W = \delta U\)) que \[ \delta U = \int_V \left( \sigma_{xx}\,\delta \epsilon_{xx} + \sigma_{yy}\,\delta \epsilon_{yy} + \sigma_{zz}\,\delta \epsilon_{zz} + \sigma_{xy}\,\delta \gamma_{xy} + \sigma_{xz}\,\delta \gamma_{xz} + \sigma_{yz}\,\delta \gamma_{yz} \right) dV. \]

La variation de l'énergie interne (due aux forces mécaniques) par unité de volume est appelée la densité d'énergie de déformation, notée \(U_0\) : \[ \delta U = \int_V \delta U_0 \, dV. \]

En comparant les deux dernières équations, nous obtenons \[ \delta U_0 = \sigma_{xx}\,\delta \epsilon_{xx} + \sigma_{yy}\,\delta \epsilon_{yy} + \sigma_{zz}\,\delta \epsilon_{zz} + \sigma_{xy}\,\delta \gamma_{xy} + \sigma_{xz}\,\delta \gamma_{xz} + \sigma_{yz}\,\delta \gamma_{yz}. \]

L'équation ci-dessus peut être exprimée sous forme différentielle comme \[ \boxed{ dU_0 = \sigma_{xx}\, d\epsilon_{xx} + \sigma_{yy}\, d\epsilon_{yy} + \sigma_{zz}\, d\epsilon_{zz} + \sigma_{xy}\, d\gamma_{xy} + \sigma_{xz}\, d\gamma_{xz} + \sigma_{yz}\, d\gamma_{yz}. } \]

Remarquez que les termes impliquant les déformations de cisaillement peuvent être écrits comme la somme de deux composantes correspondant aux déformations de cisaillement tensorielles \(\epsilon_{ij}\).
Par exemple : \[ \sigma_{xy}\gamma_{xy} = \sigma_{xy}\epsilon_{xy} + \sigma_{yx}\epsilon_{yx}. \]

Par conséquent, \[ \bbox[5px,border:1px #f2f2f2;background-color:#f2f2f2]{\begin{aligned} dU_0&=\sigma_{xx}\,d\epsilon_{xx}+\sigma_{xy}\, d\epsilon_{xy}+\sigma_{xz}\,d\epsilon_{xz}+\cdots+\sigma_{zz}d\epsilon_{zz}\\ &=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \sigma_{ij}\, d\epsilon_{ij} \end{aligned}} \]

Il découle de l'expression ci-dessus que \[ \bbox[5px,border:1px #f2f2f2;background-color:#f2f2f2]{ \frac{\partial U_0}{\partial \epsilon_{ij}} = \sigma_{ij}. } \]

Références

Boresi, A. P., Schmidt, R. J., & Sidebottom, O. M. (1993). Advanced mechanics of materials (6th ed.). John Wiley & Sons.
Malvern, L. E. (1969). Introduction to the mechanics of a continuous medium. Prentice Hall.
Sokolnikoff, I. S. (1956). Mathematical theory of elasticity (2nd ed.). McGraw-Hill.