The Assembly Process: The Method of Direct Superposition

La matrice de rigidité de toute la structure (la matrice de rigidité « globale ») est formée en combinant les matrices de rigidité de chaque élément individuel. Ce processus s'appelle assemblage. L'idée fondamentale est que la rigidité totale à tout degré de liberté donné est la somme des contributions de rigidité de tous les éléments connectés à ce degré de liberté.

Nous pouvons comprendre cela intuitivement en considérant un système simple de deux ressorts en série.

Exemple : Deux ressorts en série

Considérons un système avec trois nœuds et deux ressorts les reliant, comme indiqué dans les notes. Il y a trois déplacements nodaux (degrés de liberté) q₁, q₂, q₃ et trois forces nodales correspondantes F₁, F₂, F₃.

Étape 1 : Définir les matrices de rigidité des éléments Nous écrivons d'abord la relation de rigidité pour chaque ressort (élément) séparément. Chaque ressort est un élément 1D avec deux nœuds.

Pour le ressort 1 (raideur k₁) : Les forces locales f₁⁽¹⁾ et f₂⁽¹⁾ sont liées aux déplacements locaux q₁⁽¹⁾ et q₂⁽¹⁾. $[\begin{matrix} f_{1}^{(1)} \\ f_{2}^{(1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{1} & - k_{1} \\ - k_{1} & k_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1}^{(1)} \\ q_{2}^{(1)} \end{matrix}]$
Pour le ressort 2 (raideur k₂) : De même, pour le deuxième ressort : $[\begin{matrix} f_{1}^{(2)} \\ f_{2}^{(2)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{2} & - k_{2} \\ - k_{2} & k_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1}^{(2)} \\ q_{2}^{(2)} \end{matrix}]$

Étape 2 : Établir la compatibilité et l'équilibre Nous connectons les éléments individuels en imposant deux conditions :

Compatibilité des déplacements : Nous relions les déplacements nodaux locaux de l'élément aux déplacements nodaux globaux de la structure.
- q₁⁽¹⁾ = q₁
- q₂⁽¹⁾ = q₂ et q₁⁽²⁾ = q₂ (Le nœud central est partagé)
- q₂⁽²⁾ = q₃
Équilibre des forces : La force externe à chaque nœud global doit être égale à la somme des forces internes de tous les éléments connectés à ce nœud.
- F₁ = f₁⁽¹⁾
- F₂ = f₂⁽¹⁾ + f₁⁽²⁾ (La force au nœud central est la somme des forces des deux ressorts)
- F₃ = f₂⁽²⁾

Étape 3 : Assembler la matrice de rigidité globale Nous construisons maintenant le système global F = Kq en substituant les équations des éléments dans les équations d'équilibre.

Ligne 1 (Force F₁) : F₁ = f₁⁽¹⁾ = k₁q₁⁽¹⁾ - k₁q₂⁽¹⁾ = k₁q₁ - k₁q₂
Ligne 2 (Force F₂) : C'est l'étape clé qui montre la superposition. F₂ = f₂⁽¹⁾ + f₁⁽²⁾ = (-k₁q₁⁽¹⁾ + k₁q₂⁽¹⁾) + (k₂q₁⁽²⁾ - k₂q₂⁽²⁾) En substituant les déplacements globaux : F₂ = (-k₁q₁ + k₁q₂) + (k₂q₂ - k₂q₃) = -k₁q₁ + (k₁ + k₂)q₂ - k₂q₃
Ligne 3 (Force F₃) : F₃ = f₂⁽²⁾ = -k₂q₁⁽²⁾ + k₂q₂⁽²⁾ = -k₂q₂ + k₂q₃

L'écriture de ces trois équations sous forme matricielle nous donne la matrice de rigidité globale assemblée pour toute la structure :

$[\begin{matrix} F_{1} \\ F_{2} \\ F_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{1} & - k_{1} & 0 \\ - k_{1} & k_{1} + k_{2} & - k_{2} \\ 0 & - k_{2} & k_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix}]$

Remarquez comment le terme K₂₂ (k₁ + k₂) est la somme des rigidités des deux éléments connectés à ce degré de liberté. Cette « superposition directe » est l'essence du processus d'assemblage dans la méthode des éléments finis.