Le principe du travail virtuel dans la méthode des éléments finis

1. Concept Fondamental

La Méthode des Éléments Finis (MEF) est fondamentalement une application du Principe du Travail Virtuel. Voyons ce que ce principe énonce.

Déplacement Virtuel

Considérons un champ de déplacement virtuel $\delta 𝐮$ dans le corps. Le déplacement virtuel est arbitraire¹ sauf qu'il doit respecter les contraintes aux limites ; c'est-à-dire qu'il est nul partout où le déplacement est prescrit sur la frontière.

Travail Virtuel Externe (TVE)

Le travail virtuel externe (TVE) est le travail effectué par les tractions et les forces volumiques réelles et est donné par $$EVW={\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}𝐭\cdot \delta 𝐮dS+{\int }_{\mathrm{\Omega }}𝐛\cdot \delta 𝐮dV$$ La première intégrale est sur la portion de la frontière du corps (𝛤_t)où la traction est prescrite. La seconde intégrale est sur le volume (Ω) du corps.

Si les forces volumiques sont négligeables et que seules des forces concentrées P agissent en certains nœuds (ou si les tractions réparties sont converties en forces nodales équivalentes, comme cela sera expliqué plus tard), alors le travail virtuel externe se réduit à $$V{W}_E=\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ où :

• P est le vecteur des charges externes réelles (forces) appliquées aux nœuds de la structure.
• $\delta 𝐪$ est le vecteur des déplacements externes virtuels aux nœuds correspondants.

Travail Virtuel Interne (TVI)

Le travail virtuel interne est l'intégrale du produit de la contrainte interne réelle, σ, et de la déformation virtuelle, $\delta 𝝐$, sur le volume (Ω) du corps.

$$IVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝝈dV$$ où :

• $\delta 𝝐$ est la déformation virtuelle résultant du déplacement virtuel $\delta 𝐮$. $$\delta 𝝐=\left[\begin{array}{c}\delta {ϵ}_{xx}\\ \delta {ϵ}_{yy}\\ \delta {ϵ}_{zz}\\ \delta {\gamma }_{zx}\\ \delta {\gamma }_{zy}\\ \delta {\gamma }_{xy}\end{array}\right]$$
• σ est la contrainte interne réelle résultant de la charge externe réelle P. $$𝝈=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{zx}\\ {\sigma }_{zy}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right]$$

Si le matériau est élastique linéaire, alors en utilisant la relation constitutive (loi de Hooke pour un matériau élastique linéaire), nous pouvons exprimer la contrainte en fonction de la déformation :

• ε est la déformation réelle correspondant à la contrainte réelle σ.
• E est la matrice d'élasticité du matériau (contenant des propriétés comme le module de Young et le coefficient de Poisson). Par exemple, dans un problème de déformation plane : En substituant la loi constitutive dans l'expression du TVI, on obtient : $$IVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝐄𝝐dV$$

Principe du Travail Virtuel

Le principe du travail virtuel stipule que le corps est en équilibre si et seulement si le travail virtuel externe (EVM) est égal au travail virtuel interne (IVE) pour tout champ de déplacement virtuel admissible. $$EVW=IVW$$ ou $$\delta {𝐪}^T𝐏={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝝈dV$$ Nous avons précédemment prouvé ce principe.

2. La Matrice de Déformation-Déplacement (B)

Un concept central de la MEF est de relier le champ de déformation continu à l'intérieur d'un élément à ses déplacements nodaux discrets, q. Ceci est réalisé à l'aide de la matrice de déformation-déplacement, B.

La matrice B est dérivée des dérivées des fonctions de forme de l'élément, qui seront discutées plus tard, et est, dans le cas général, une fonction des coordonnées x = (x, y, z) à l'intérieur de l'élément. Pour souligner, nous pouvons écrire : $$𝝐(𝐱)=𝐁(𝐱)𝐪$$

De même, la déformation virtuelle est liée aux déplacements nodaux virtuels :

$$\delta 𝝐(𝐱)=𝐁(𝐱)\delta 𝐪$$

En substituant ces relations dans l'équation du TVI, nous pouvons exprimer le travail virtuel interne entièrement en termes de déplacements nodaux :

3. Dérivation de la Matrice de Rigidité de l'Élément (K)

En égalant les expressions du travail virtuel externe et interne :

$$\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏=\delta {𝐪}^{𝖳}\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{𝐁}^{𝖳}𝐄𝐁dV\right)𝐪$$

Puisque cette équation doit être vérifiée pour tout déplacement virtuel arbitraire $\delta 𝐪$, nous pouvons annuler le terme $\delta {𝐪}^T$ des deux côtés, ce qui donne la relation fondamentale pour un élément fini :

où K est une matrice carrée appelée matrice de rigidité, définie comme :

Cette intégrale est le cœur de la formulation éléments finis pour les problèmes statiques linéaires. Elle transforme les propriétés géométriques et matérielles en une matrice qui relie les forces nodales aux déplacements nodaux.