Forces nodales équivalentes

Lors de la dérivation de la formulation, IVW = EVW, nous avons simplement supposé qu'il n'y a que des forces nodales et c'est pourquoi EVW = $\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$. Supposons maintenant qu'il y ait des forces volumiques et des tractions de surface.

Soit $𝐛$ : force volumique par unité de masse, $\overline{𝐭}$ : force de bord prescrite ou traction de surface par unité de surface. (ici, j’ai utilisé une barre au-dessus du vecteur de traction pour indiquer qu’elle est prescrite)

Alors $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho 𝐛\cdot \delta 𝐮dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\overline{𝐭}\cdot \delta 𝐮dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ qui peut s'écrire $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho \delta {𝐮}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\delta {𝐮}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ Cependant, $$\delta 𝐮=𝐍\delta 𝐪$$ ou $$\{u\}=[N]\{\delta q\}$$ Par conséquent,

En égalisant EVW = IVW, on obtient $$𝐊𝐪=𝐅$$ où $$𝐊={\int }_{\mathrm{\Omega }}{𝐁}^{𝖳}𝐄𝐁dV$$ et $$𝐅={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho {𝐍}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{\mathrm{\Gamma }}{𝐍}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+𝐏$$

Exemple : Si la poutre est chargée comme dans la figure suivante,

alors $$\overline{t}(x)=-\frac{w}{L}x$$ et les forces nodales généralisées équivalentes sont : $$P_1={\int }_0^L{N}_1(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{3wL}{20}$$ $$M_1={\int }_0^L{N}_2(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{w{L}^2}{30}$$ $$P_2={\int }_0^L{N}_3(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{7wL}{20}$$ $$M_2={\int }_0^L{N}_4(x)\overline{t}(x)dx=\frac{w{L}^2}{20}$$ où