Éléments rectangulaires

Bien que l'élément triangulaire soit simple et puisse être utilisé pour mailler n'importe quelle géométrie bidimensionnelle, sa précision est limitée par l'hypothèse d'une déformation constante. Pour améliorer cela, nous introduisons l'élément rectangulaire à 4 nœuds. Cet élément permet une distribution de déformation plus complexe, conduisant à des résultats plus précis.

1. Champ de déplacement

Pour cet élément, le champ de déplacement (par exemple, pour le déplacement u) est approximé à l'aide d'un polynôme à quatre termes. Un ajout crucial est le terme xy, qui permet une distribution de déformation non constante.

$u (x, y) = a_{1} + a_{2} x + a_{3} y + a_{4} x y$

Cela peut s'écrire sous forme matricielle : $u = ⟨ \begin{matrix} 1 & x & y & x y \end{matrix} ⟩ {\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix}}$

En imposant cette équation à chacun des quatre nœuds, nous pouvons résoudre les coefficients a en fonction des déplacements nodaux u. Cela conduit à la relation bien connue $u = 𝐍 𝐮$ , où N est le vecteur des fonctions de forme.

2. Fonctions de forme

Au lieu d'une inversion matricielle par force brute, les fonctions de forme d'un élément rectangulaire peuvent être construites élégamment par le produit de fonctions d'interpolation linéaire unidimensionnelles. Considérons un rectangle de dimensions a et b. On peut définir des fonctions linéaires simples dans chaque direction :

Dans la direction x : $f_{1} (x) = 1 - \frac{x}{a}$ $f_{2} (x) = \frac{x}{a}$
Dans la direction y : $g_{1} (y) = 1 - \frac{y}{b}$ $g_{2} (y) = \frac{y}{b}$

Les fonctions de forme bidimensionnelles sont alors obtenues en prenant les produits de ces fonctions 1D. Pour un nœud i, la fonction de forme est le produit des fonctions 1D qui sont égales à 1 à ce nœud.

$N_{1} (x, y) = f_{1} (x) g_{1} (y) = (1 - \frac{x}{a}) (1 - \frac{y}{b})$
$N_{2} (x, y) = f_{2} (x) g_{1} (y) = (\frac{x}{a}) (1 - \frac{y}{b})$
$N_{3} (x, y) = f_{2} (x) g_{2} (y) = (\frac{x}{a}) (\frac{y}{b})$
$N_{4} (x, y) = f_{1} (x) g_{2} (y) = (1 - \frac{x}{a}) (\frac{y}{b})$

3. Matrice de déformation-déplacement et rigidité

Puisque les fonctions de forme contiennent maintenant des termes en x et y, leurs dérivées ne sont plus constantes. Par exemple, pour $N_{1}$ :

$\frac{\partial N_{1}}{\partial x} = - \frac{1}{a} (1 - \frac{y}{b}), \frac{\partial N_{1}}{\partial y} = - \frac{1}{b} (1 - \frac{x}{a})$

La matrice B contiendra maintenant des termes qui sont des fonctions de x et y. Cela signifie que la déformation, donnée par ${ϵ} = 𝐁 𝐪$ , n'est plus constante à l'intérieur de l'élément. Elle peut varier linéairement, ce qui représente une amélioration significative par rapport au triangle à déformation constante.

La matrice de rigidité de l'élément est calculée à l'aide de la formule standard :

$𝐊 = \int_{V} 𝐁^{T} 𝐄 𝐁 d V = t \int_{0}^{b} \int_{0}^{a} 𝐁 (x, y)^{T} 𝐄 𝐁 (x, y) d x d y$

Parce que la matrice B est fonction de x et y, l'intégrande n'est plus une constante et l'intégration doit être effectuée explicitement.