Principe de Saint-Venant
De Sokolnikoff, I. S. (1941). Théorie mathématique de l'élasticité. Brown University.
Il est évident, d'après la formulation des problèmes aux limites fondamentaux de la théorie de l'élasticité, que la solution exacte de ces problèmes présentera probablement de formidables difficultés mathématiques en raison de la forme compliquée des conditions aux limites. Il est fréquemment possible d'obtenir une solution du problème si les conditions aux limites sont légèrement modifiées, et il convient de noter que dans les applications technologiques de la théorie de l'élasticité, on ne peut qu'approcher la formulation mathématique des conditions aux limites, de sorte que la solution mathématique du problème ne représente qu'une approximation de la situation réelle.
En 1855, B. de Saint Venant a exprimé un principe qui s'accorde bien avec les applications de la théorie de l'élasticité aux problèmes pratiques. L'essence du principe peut être énoncée comme suit :
Si une certaine répartition de forces agissant sur une portion de la surface d'un corps est remplacée par une répartition différente de forces, agissant sur la même portion du corps, alors les effets des deux répartitions différentes sur les parties du corps suffisamment éloignées de la région d'application des forces sont essentiellement les mêmes, à condition que les deux répartitions de forces soient statiquement équivalentes.
L'expression « statiquement équivalentes » signifie que les deux répartitions de forces ont la même force résultante et le même moment résultant.
Pour illustrer la signification du principe, considérons une longue poutre dont une extrémité est encastrée dans un mur rigide, tandis que l'autre est soumise à une répartition de forces qui donne lieu à une force résultante F et à un couple de moment M.
Or, il existe une infinité de répartitions de forces qui peuvent agir sur l'extrémité de la poutre et qui auront la même résultante F et le même moment résultant M.
Le principe de Saint Venant affirme que, bien que les répartitions des contraintes et des déformations près de la région d'application puissent différer considérablement, les excentricités de la répartition locale n'auront aucun effet appréciable sur l'état de contrainte suffisamment loin des points d'application, tant que les systèmes de forces appliquées sont statiquement équivalents.
Ce principe est d'une grande utilité dans les applications pratiques car il permet de modifier les conditions aux limites et ainsi de simplifier le problème.
On pourrait soupçonner, d'après la généralité de l'énoncé du principe, que ce dernier n'est pas facile à justifier dans tous les cas sur des bases purement mathématiques. Dans des cas spécifiques, on peut calculer la répartition des contraintes produites par divers systèmes de forces statiquement équivalents, et dans les problèmes de poutres, par exemple, il est raisonnable de supposer que les excentricités locales ne sont pas ressenties à des distances qui sont d'environ dix fois la plus grande dimension linéaire de la surface sur laquelle les forces sont réparties.
Nous ferons usage de ce principe dans les prochains chapitres.