Les équations gouvernantes de l'élasticité

L'objectif de tout problème en mécanique des solides est de déterminer la distribution des déplacements, des déformations et des contraintes dans un corps soumis à des forces extérieures. Cela nécessite un ensemble d'équations gouvernantes qui reposent sur trois principes physiques fondamentaux : l'équilibre des forces (équilibre), la géométrie de la déformation (cinématique) et la réponse du matériau (loi de comportement).

Pour un corps élastique tridimensionnel, nous devons résoudre pour un total de 15 grandeurs de champ inconnues en chaque point $(x,y,z)$ à l'intérieur du corps.

Les 15 inconnues

Les 15 inconnues peuvent être regroupées en trois catégories :

1. Vecteur déplacement (3 inconnues) : Celles-ci décrivent comment chaque point du corps se déplace.
   • $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$, $w(x,y,z)$
2. Tenseur de déformation (6 inconnues indépendantes) : Celles-ci décrivent la déformation (étirement et cisaillement) du matériau. Le tenseur de déformation est symétrique (${ϵ}_{ij}={ϵ}_{ji}$), il a donc 6 composantes uniques.
   • Déformations normales : ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz}$
   • Déformations de cisaillement : ${ϵ}_{xy},{ϵ}_{yz},{ϵ}_{xz}$
3. Tenseur de contrainte (6 inconnues indépendantes) : Celles-ci décrivent les forces internes agissant sur des surfaces infinitésimales à l'intérieur du matériau. En raison de l'équilibre des moments, le tenseur de contrainte est également symétrique (${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$), ce qui lui confère 6 composantes uniques.
   • Contraintes normales : ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{zz}$
   • Contraintes de cisaillement : ${\sigma }_{xy},{\sigma }_{yz},{\sigma }_{xz}$

Total des inconnues = 3 (déplacements) + 6 (déformations) + 6 (contraintes) = 15 grandeurs.

Pour résoudre ces 15 inconnues, nous avons besoin d'un nombre égal d'équations indépendantes, fournies par les lois fondamentales de la mécanique des milieux continus.

Les 15 équations gouvernantes

Les 15 équations sont dérivées de trois principes fondamentaux :

1. Équations d'équilibre (3 équations)

En considérant un élément infinitésimal à l'intérieur du corps, il découle de la deuxième loi de Newton ($\mathrm{\Sigma }𝐅=m𝐚$) que les composantes de contrainte satisfont les équations du mouvement suivantes : $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+\rho b_x=\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zy}}{\partial z}+\rho b_y=\rho \frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}+\rho b_z=\rho \frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}$$ Dans les équations ci-dessus, est le champ de déplacement et $𝐛$ est la force de volume par unité de masse.

Les équations d'équilibre sont souvent écrites en notation indicielle compacte comme suit $${\sigma }_{ji,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i,(i=1,2,3)$$ où ${}_{,j}$ signifie la dérivation par rapport à $x_j$, la sommation sur l'indice répété $j$ est implicite (notation d'Einstein), et un double point désigne la dérivée seconde par rapport au temps.

Une autre forme d'écriture de l'équation ci-dessus est la suivante $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}.$$

2. Équations cinématiques (déformation-déplacement) (6 équations) Ce sont des relations géométriques qui définissent les composantes du tenseur de déformation en fonction des dérivées du vecteur déplacement. Elles sont valables sous l'hypothèse des petites déformations. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${ϵ}_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}$$ $${ϵ}_{xy}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})$$ $${ϵ}_{yz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})$$ $${ϵ}_{xz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})$$ Sous forme compacte : $${ϵ}_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}),$$ ou $$𝝐=\frac{1}{2}[\mathrm{\nabla }𝝐+\mathrm{\nabla }(𝝐{)}^T].$$ 3. Équations constitutives / Loi de Hooke généralisée (6 équations) Ces équations décrivent le comportement intrinsèque du matériau en reliant la contrainte à la déformation. En général : $${\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{ϵ}_{kl}$$ * Notez que la sommation sur les indices répétés $k$ et $l$ est implicite. C'est-à-dire, $$C_{ijkl}{ϵ}_{kl}=\sum _{k=1}^3\sum _{l=1}^3{C}_{ijkl}{ϵ}_{kl}.$$ Pour un matériau élastique linéaire isotrope, cette relation est définie par deux constantes du matériau, généralement le module de Young ($E$) et le coefficient de Poisson ($\nu$). $${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{xx}+\nu ({ϵ}_{yy}+{ϵ}_{zz})]$$ $${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{yy}+\nu ({ϵ}_{xx}+{ϵ}_{zz})]$$ $${\sigma }_{zz}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{zz}+\nu ({ϵ}_{xx}+{ϵ}_{yy})]$$ $${\sigma }_{xy}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{xy}$$ $${\sigma }_{yz}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{yz}$$ $${\sigma }_{xz}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{xz}$$ ou sous forme compacte $${\sigma }_{ij}=\lambda {ϵ}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu {ϵ}_{ij},$$ ou $$𝝈=\lambda (\mathrm{tr}𝝐)𝑰+2\mu 𝝐.$$ #### Résumé

La théorie de l'élasticité linéarisée est un cadre mathématique fermé et complet. Nous avons établi un système de 15 inconnues et un ensemble correspondant de 15 équations indépendantes :

• 3 équations d'équilibre
• 6 équations cinématiques
• 6 équations constitutives

Cette égalité garantit que le problème est mathématiquement bien posé. En appliquant des conditions aux limites appropriées (c'est-à-dire en spécifiant les forces ou les déplacements sur la surface du corps), une solution unique pour les champs de contrainte, de déformation et de déplacement peut être déterminée.