The Navier Equation

Nous pouvons exprimer toutes les équations en fonction du champ de déplacement. Son principal avantage est qu'il combine les trois ensembles d'équations gouvernantes (équilibre, cinématique et constitutive) en une seule équation vectorielle, réduisant le problème de 15 inconnues (contrainte, déformation, déplacement) à seulement 3 (les composantes du vecteur de déplacement $𝐮$).

La dérivation implique une substitution systématique, en commençant par l'équation d'équilibre et en remplaçant progressivement la contrainte par la déformation, puis la déformation par le déplacement.

Nous commençons par les trois ensembles fondamentaux d'équations en notation indicielle.

1. Équation d'équilibre (Équation du mouvement) : Cette équation relie la divergence du tenseur des contraintes aux forces volumiques et à l'inertie. où ${\sigma }_{ji}$ est le tenseur des contraintes, $\rho$ est la masse volumique, $b_i$ est la force volumique par unité de masse, et $u_i$ est le vecteur de déplacement.

Forme alternative :

2. Loi constitutive (Loi de Hooke généralisée pour les matériaux isotropes) : Cette loi relie la contrainte à la déformation en utilisant les deux paramètres de Lamé, $\lambda$ et $\mu$ (le module de cisaillement, $G$). où ${ϵ}_{ij}$ est le tenseur des déformations, ${ϵ}_{kk}={ϵ}_{11}+{ϵ}_{22}+{ϵ}_{33}$ est la déformation volumique (trace du tenseur des déformations), et ${\delta }_{ij}$ est le delta de Kronecker.

Forme alternative :

3. Relation cinématique (déformation-déplacement) : Cette équation définit la déformation en termes des gradients de déplacement pour les petites déformations. ou Le processus de substitution :

Étape A : Exprimer la contrainte en fonction du déplacement Tout d'abord, substituer la relation cinématique (3) dans la loi constitutive (2). $${\sigma }_{ij}=\lambda {ϵ}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu [\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})]$$ Le terme de déformation volumique ${ϵ}_{kk}$ doit également être exprimé en fonction du déplacement : $${ϵ}_{kk}=u_{k,k}=u_{1,1}+u_{2,2}+u_{3,3}$$ En remplaçant cela, on obtient la contrainte purement en fonction du déplacement :

Forme alternative : Tout d'abord, notons que la trace du tenseur des déformations est la divergence du vecteur de déplacement : $$\text{tr}(𝝐)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$$ Substituer cela et la relation cinématique (3') dans la loi constitutive (2') : $$𝝈=\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+2\mu [\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]$$

Étape B : Substituer la contrainte dans l'équation d'équilibre Maintenant, substituer cette expression de la contrainte (4) dans l'équation d'équilibre (1). Puisque le tenseur des contraintes est symétrique (${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$), nous pouvons remplacer ${\sigma }_{ji}$ par ${\sigma }_{ij}$. $${[\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}+\mu (u_{i,j}+u_{j,i})]}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ Nous appliquons maintenant la dérivée par rapport à $x_j$ aux termes entre crochets : $$(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}+(\mu u_{i,j}{)}_{,j}+(\mu u_{j,i}{)}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ Analysons chaque terme, en supposant que $\lambda$ et $\mu$ sont constants : * Terme 1 : $(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}=\lambda (u_{k,k}{)}_{,j}{\delta }_{ij}$. À cause du delta de Kronecker ${\delta }_{ij}$, ce terme n'est non nul que lorsque $j=i$. Ainsi, la dérivée devient par rapport à $x_i$ : $\lambda (u_{k,k}{)}_{,i}=\lambda u_{k,ki}$. * Terme 2 : $(\mu u_{i,j}{)}_{,j}=\mu u_{i,jj}$. * Terme 3 : $(\mu u_{j,i}{)}_{,j}=\mu u_{j,ij}$. En supposant que le champ de déplacement est suffisamment lisse, nous pouvons permuter l'ordre de différentiation : $\mu u_{j,ji}=\mu (u_{j,j}{)}_{,i}$.

En combinant ces termes, on obtient : $$\lambda u_{k,ki}+\mu u_{i,jj}+\mu u_{j,ji}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ Remarquons que $u_{k,k}$ et $u_{j,j}$ représentent tous deux la divergence du champ de déplacement. Nous pouvons regrouper les premier et troisième termes :

C'est l'équation de Lamé-Navier en notation indicielle.

Forme alternative :

Maintenant, prenons la divergence de l'expression de la contrainte (4') et substituons-la dans l'équation d'équilibre (1') : $$\mathrm{\nabla }\cdot [\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+\mu (\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ Nous utilisons les identités standard de calcul vectoriel suivantes : * $\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐈)=\mathrm{\nabla }f$ * $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }𝐮)={\mathrm{\nabla }}^2𝐮$ (le Laplacien vectoriel) * $\mathrm{\nabla }\cdot ((\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)$

En appliquant ces identités à notre équation (en supposant $\lambda$ et $\mu$ constants) : $$\lambda \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\mu ({\mathrm{\nabla }}^2𝐮)+\mu \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ Enfin, regroupons les termes avec le gradient de la divergence :

Conditions aux limites en termes de déplacement

Les conditions aux limites que nous avons discutées dans la section précédente $$n_j{\sigma }_{ij}=t_i^{}\text{sur }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{sur }{\mathrm{\Gamma }}_u$$ peuvent être exprimées en termes du champ de déplacement comme $$[n_j\mu (u_{i,j}+u_{j,i})+n_i\lambda u_{k,k}]=t_i^{\ast }\text{sur }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{sur }{\mathrm{\Gamma }}_u.$$