Conditions aux limites

Les 15 équations gouvernantes de l'élasticité forment un système d'équations aux dérivées partielles qui possède une infinité de solutions. Pour trouver la solution spécifique qui correspond à un problème physique particulier, nous devons imposer des conditions aux limites, qui précisent les contraintes physiques à la surface du corps élastique.

Pour tout point donné sur la surface du corps, l'un des deux types de conditions doit être prescrit. Soit le corps occupant un domaine $\mathrm{\Omega }$ avec une surface frontière $\mathrm{\Gamma }$.

1. Conditions aux limites de déplacement

Cette condition prescrit le déplacement des points sur la surface. Elle est utilisée pour modéliser des parties d'un corps qui sont fixes, encastrées ou contraintes de se déplacer d'une manière spécifique.

Si une portion de la frontière, notée ${\mathrm{\Gamma }}_u$, a son déplacement spécifié, la condition s'écrit : $$u_i(x,y,z,t)=u_i^{\ast }$$ où $u_i^{\ast }$ sont les composantes connues du vecteur de déplacement prescrit sur cette surface. Un exemple courant est l'extrémité fixe d'une poutre en porte-à-faux, où $u_i^{\ast }=0$.

2. Conditions aux limites de traction

Cette condition prescrit les forces agissant sur la surface. Ces forces sont décrites par le vecteur de traction, $𝐭$, qui est la force par unité de surface. Elle est utilisée pour modéliser des surfaces soumises à des pressions, des charges réparties ou des forces de contact.

Le vecteur de traction est lié à l'état de contrainte interne à la surface par la relation de contrainte de Cauchy : $$t_i=n_j{\sigma }_{ji}$$ ou $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈.$$ où $n_j$ sont les composantes du vecteur unitaire normal sortant de la surface et la sommation sur l'indice répété $j$ est implicite.

Si une portion de la frontière, notée ${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$, a ses tractions spécifiées, la condition s'écrit : $$t_i(x,y,z,t)=n_j{\sigma }_{ji}=t_i^{\ast }$$ ou $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈={𝐭}^{\ast }.$$ où $t_i^{\ast }$ sont les composantes connues du vecteur de traction prescrit. Une « surface libre », sur laquelle aucune force n'agit, est un exemple courant et important où $t_i^{\ast }=0$.

Conditions aux limites mixtes

Dans la plupart des problèmes d'ingénierie, les conditions aux limites sont de type mixte. Les déplacements sont prescrits sur une partie de la surface (${\mathrm{\Gamma }}_u$), tandis que les tractions sont prescrites sur la partie restante (${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$). La frontière entière doit être couverte, et ces deux régions doivent être disjointes : $$\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_u\cup {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }\text{and}{\mathrm{\Gamma }}_u\cap {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }=\mathrm{\varnothing }$$ Ensemble, les équations de champ gouvernantes et un ensemble complet de conditions aux limites forment un problème bien posé, garantissant l'existence d'une solution unique.