Déformation vraie et contrainte vraie

La courbe contrainte-déformation conventionnelle ne représente pas fidèlement le comportement en déformation d'un matériau, car elle est calculée à partir des dimensions initiales de l'éprouvette, qui varient continuellement pendant l'essai. Dans les opérations de mise en forme des métaux telles que le tréfilage, par exemple, la section transversale de la pièce diminue considérablement. Il est donc plus pertinent de définir la contrainte et la déformation à partir des dimensions instantanées. Les variations dimensionnelles étant minimes dans le domaine élastique, cette distinction n'était pas nécessaire dans l'étude précédente.

Déformation vraie et déformation conventionnelle

L'équation

où $L_0$ est la distance initiale entre deux repères et $L$ la distance actuelle entre ces repères, décrit le concept conventionnel de déformation linéaire unitaire, c'est-à-dire la variation de longueur rapportée à la longueur unitaire d'origine.

$$e=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0}=\frac{1}{L_0}{\int }_{L_0}^{L}dL$$

Cette définition de la déformation, appelée déformation conventionnelle ou déformation nominale, est satisfaisante pour les déformations élastiques où $\mathrm{\Delta }L$ est très petit. Cependant, en déformation plastique, les déformations sont souvent grandes et, pendant l'extension, la longueur de référence varie considérablement. Ludwik a proposé le premier en 1909 la définition de la déformation vraie, ou déformation naturelle, $ϵ$, qui permet de pallier cette difficulté. Dans cette définition de la déformation, la variation de longueur est rapportée à la longueur de référence instantanée et non à la longueur de référence initiale.

ou

La relation entre la déformation vraie et la déformation linéaire conventionnelle découle de l'équation (1).

$$e=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0}=\frac{L-L_0}{L_0}=\frac{L}{L_0}-1$$$$e+1=\frac{L}{L_0}$$

Les deux mesures de déformation donnent des résultats quasiment identiques jusqu'à des déformations d'environ 0,1.

Le volume restant essentiellement constant pendant la déformation plastique, l'équation (3) peut s'écrire en fonction de la longueur ou de la section.

De plus, en raison de la constance du volume, la somme des trois déformations principales est égale à zéro.

Cette relation n'est pas valable pour les déformations conventionnelles principales.

L'avantage de l'utilisation de la déformation vraie devrait ressortir clairement de l'exemple suivant :

Considérons un cylindre uniforme que l'on étire jusqu'à deux fois sa longueur initiale. La déformation linéaire est alors $e=(2L_0-L_0)/L_0=1,0$, soit une déformation de 100 pour cent. Pour obtenir la même valeur de déformation linéaire négative en compression, il faudrait comprimer le cylindre jusqu'à une épaisseur nulle. Or, intuitivement, on s'attendrait à ce que la déformation produite en comprimant un cylindre à la moitié de sa longueur initiale soit la même, bien qu'opposée en signe, que celle produite en l'étirant à deux fois sa longueur. En utilisant la déformation vraie, on obtient l'équivalence dans les deux cas. Pour l'extension à deux fois la longueur initiale, $ϵ=\ln (2L_0/L_0)=\ln 2$. Pour la compression à la moitié de la longueur initiale,

$$ϵ=\ln [(L_0/2)/L_0]=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2.$$

Contrainte vraie et contrainte conventionnelle

Lors de l'analyse du comportement mécanique des matériaux, il est essentiel de distinguer deux définitions clés de la contrainte. Bien que ces deux mesures soient quasiment identiques dans le domaine élastique où les déformations sont faibles, leurs valeurs divergent fortement pendant la déformation plastique.

Courbes conventionnelle et vraie : une comparaison visuelle

La figure suivante compare les courbes contrainte-déformation conventionnelle et vraie pour deux alliages de construction courants. Plusieurs caractéristiques méritent d'être notées.

Les deux courbes de chaque matériau se superposent presque dans le domaine élastique (en dessous d'environ 1 % de déformation), ce qui confirme que les mesures conventionnelle et vraie sont interchangeables pour les petites déformations. Dès que l'écoulement plastique significatif commence, les courbes divergent. Pour l'acier, la courbe conventionnelle atteint un pic à environ 440 MPa (l'UTS) vers 6 % de déformation conventionnelle, puis chute à environ 330 MPa à la rupture. La contrainte vraie à ce même point de rupture est d'environ 545 MPa (soit près de 65 % de plus), car la section de striction qui diminue rapidement fait augmenter σ = P/A même lorsque la charge P diminue. L'aluminium présente le même comportement qualitatif, la contrainte vraie à la
rupture (environ 415 MPa) étant nettement supérieure à l'UTS conventionnelle (~310 MPa).

Établissement de la relation entre contrainte vraie et contrainte conventionnelle

Nous pouvons établir une relation mathématique directe pour convertir la contrainte conventionnelle, facilement mesurable, en contrainte vraie, plus pertinente physiquement. Cette conversion repose sur une hypothèse clé concernant le comportement du matériau pendant la déformation plastique.

Nous partons de la définition de la contrainte vraie et utilisons une manipulation algébrique simple pour introduire le terme de contrainte conventionnelle. Nous multiplions l'équation par $A_0/A_0$, ce qui revient à multiplier par un :

$$\sigma =\frac{P}{A}=\frac{P}{A_0}\cdot \frac{A_0}{A}$$

On remarque que le terme $P/A_0$ est tout simplement la définition de la contrainte conventionnelle, $s$. Par conséquent, nous pouvons écrire :

$$\sigma =s\left(\frac{A_0}{A}\right)$$

Le volume de l'éprouvette restant constant tout au long de l'essai, nous avons A₀L₀ = AL et nous pouvons donc écrire

$$\sigma =s\frac{L}{L_0}$$

Puisque

$$e=\frac{L-L_0}{L_0}=\frac{L}{L_0}-1$$$$\Rightarrow \frac{L}{L_0}=1+e$$

nous obtenons

1. La généralisation 3D du concept de contrainte conventionnelle est appelée première contrainte de Piola-Kirchhoff. ↩
2. La contrainte vraie est ce que l'on appelle la contrainte de Cauchy. ↩