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L'expérience montre que les matériaux peuvent supporter de très grandes pressions hydrostatiques (état de contrainte sphérique) sans subir de déformation plastique.^[1] Dans de nombreux problèmes, en particulier dans la théorie de la plasticité, il est souhaitable de désigner la partie de la contrainte totale qui peut être efficace pour produire une déformation plastique. Celle-ci est connue sous le nom de déviateur des contraintes . L'autre composante est la composante hydrostatique de la contrainte $σ_{m}$ .

Dans la théorie de la plasticité, il est donc essentiel de séparer mathématiquement l'état de contrainte totale en deux composantes :

Une composante qui tend à provoquer un changement de volume.
Une composante qui provoque un changement de forme (distorsion), responsable de la déformation plastique.

La composante qui provoque le changement de forme est connue sous le nom de contrainte déviatorique (ou déviateur des contraintes), notée (ou parfois $s_{i j}$ ). La composante qui provoque le changement de volume est la contrainte hydrostatique, notée $σ_{m}$ .

La contrainte moyenne ou hydrostatique, $σ_{m}$ , est la moyenne des contraintes normales ou la moyenne des trois contraintes principales ( $p$ est la pression normale moyenne).

Le déviateur des contraintes est ce qui reste de la contrainte totale après avoir soustrait la composante hydrostatique :

où $𝐈$ est le tenseur unité 3x3 (matrice), et $δ_{i j}$ est le symbole de Kronecker :

Remarque : Les éléments hors diagonale du déviateur des contraintes sont les mêmes que les éléments correspondants du tenseur des contraintes. C'est-à-dire :

Les composantes principales du tenseur déviateur des contraintes sont données par :

De ces définitions, on peut facilement montrer que la somme des contraintes déviatoriques principales est toujours nulle :

Invariants du déviateur des contraintes

Lorsque le déviateur des contraintes est exprimé dans un système de coordonnées arbitraire ( $x, y, z$ ), ses valeurs principales peuvent être trouvées comme les racines de l'équation cubique suivante :

Les coefficients $J_{2}$ et $J_{3}$ sont les deuxième et troisième invariants du déviateur des contraintes. On les appelle « invariants » car leurs valeurs sont indépendantes du système de coordonnées utilisé pour décrire l'état de contrainte. Ces grandeurs sont fondamentales dans la théorie mathématique de la plasticité.

Les invariants peuvent être calculés à partir des composantes du tenseur des contraintes comme suit :

Premier invariant, $J_{1}$ :

Deuxième invariant, $J_{2}$ :

Troisième invariant, $J_{3}$ :

On peut également montrer que^[2]

J_{2} = - \frac{1}{3} I_{1}^{2} + I_{2}

J_{3} = I_{3} - \frac{1}{3} I_{1} I_{2} + \frac{3}{27} I_{1}^{3},

où $I_{1}$ , $I_{2}$ et $I_{3}$ sont les premier, deuxième et troisième invariants du tenseur des contraintes.

Déviateur des déformations

De manière analogue à la définition du déviateur des contraintes, nous pouvons définir le déviateur des déformations (ou tenseur de déformation déviatorique). En soustrayant la déformation moyenne du tenseur des déformations $ϵ_{i j}$ , on obtient le déviateur des déformations :

Si le matériau est isotrope et obéit à la loi de Hooke, on a

où $G$ est le module de cisaillement.