Traction uniaxiale

Considérons un problème bidimensionnel en contrainte plane impliquant une longue poutre rectangulaire soumise à des forces de traction uniformes $p$ aux deux extrémités, comme illustré ci-dessous.

Ce cas peut être considéré comme une approximation de Saint-Venant d'une situation plus générale avec un chargement non uniforme aux extrémités. Dans cette interprétation, les tractions réparties réelles aux extrémités sont remplacées par des forces uniformes statiquement équivalentes, et la solution qui en résulte est valable dans les régions suffisamment éloignées des extrémités chargées.

Conditions aux limites

Les conditions aux limites pour ce problème peuvent s'écrire comme suit

$$({\sigma }_x{)}_{x=\pm L}=p,({\sigma }_y{)}_{y=\pm h}=0,({\tau }_{xy}{)}_{y=\pm h}=({\tau }_{xy}{)}_{x=\pm L}=0.$$

La fonction de contrainte d'Airy

Puisque les tractions sur les bords sont constantes le long de chaque bord, nous nous attendons à ce que le champ de contrainte soit uniforme. Par conséquent, nous pouvons supposer une fonction de contrainte d'Airy du second ordre de la forme

$$\varphi =a_{02}{y}^2.$$

De cette expression, les composantes de contrainte deviennent

$${\sigma }_x=2a_{02},{\sigma }_y=0,{\tau }_{xy}=0.$$

En appliquant la condition aux limites ${\sigma }_x=p$ à $x=\pm l$, on obtient

$$a_{02}=\frac{p}{2}.$$ et $$\varphi =\frac{p}{2}{y}^2.$$ Par conséquent, le champ de contrainte complet est

$${\sigma }_x=p,{\sigma }_y={\tau }_{xy}=0.$$

Toutes les conditions aux limites sont identiquement satisfaites, et ce champ uniforme représente un état de traction uniaxiale.

Champ de déplacement associé

Ensuite, nous déterminons le champ de déplacement correspondant à cet état de contrainte uniforme.
En utilisant la loi de Hooke pour la contrainte plane, les déformations sont données par $${\epsilon }_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)=\frac{p}{E},{\epsilon }_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x)=-\frac{\nu p}{E}.$$ $${\tau }_{xy}=0$$

D'après les relations déformation-déplacement, $${\epsilon }_x=\frac{\partial u}{\partial x},{\epsilon }_y=\frac{\partial v}{\partial y},$$ nous obtenons les gradients de déplacement : $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{p}{E},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\nu p}{E}.$$

En intégrant ces expressions par rapport à leurs variables respectives, on obtient $$u=\frac{p}{E}x+f(y),v=-\frac{\nu p}{E}y+g(x),$$

où $f(y)$ et $g(x)$ sont des « constantes » d'intégration et seront déterminées à partir de la relation de déformation de cisaillement.

Détermination de f(y) et g(x)

Pour la contrainte plane, la déformation de cisaillement est liée aux déplacements par $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Puisque ${\tau }_{xy}=0$, la loi de Hooke donne ${\gamma }_{xy}=0$, et donc $$\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0.$$

En substituant les expressions de u et v, on obtient

Puisque chaque membre dépend d'une variable différente, tous deux doivent être constants :

En intégrant, on trouve $$f(y)=-cy+u_0,g(x)=cx+v_0,$$

où $c$ représente une rotation de corps rigide, et $u_0,v_0$ sont des translations rigides dans les directions $x$ et $y$, respectivement.

Forme finale du champ de déplacement

En substituant ces expressions dans les résultats précédents, on obtient le champ de déplacement complet : $$u=\frac{p}{E}x-cy+u_0,v=-\frac{\nu p}{E}y+cx+v_0.$$

Les constantes $c,u_0,$ et $v_0$ correspondent à un mouvement de corps rigide et ne contribuent ni à la déformation ni à la contrainte. Par conséquent, les déplacements physiques ne sont déterminés qu'à une translation et une rotation arbitraires de corps rigide près.

Pour déterminer $c,u_0$ et $v_0$, nous devons appliquer une condition supplémentaire. Par exemple, nous pouvons supposer que le centre de la poutre ne se déplace pas : $u(0,0)=v(0,0)=0$.