La méthode de la fonction de contrainte

Si les composantes de contrainte peuvent être exprimées en fonction d'une seule fonction scalaire ϕ(x,y), alors les composantes de déformation et de déplacement correspondantes peuvent également être écrites en fonction de la même fonction. Par conséquent, le nombre d'inconnues dans le problème d'élasticité bidimensionnelle est réduit à un. Cette approche, introduite par George Biddell Airy en 1862, utilise une fonction ϕ(x,y) connue sous le nom de fonction de contrainte d'Airy.

Définition et équations d'équilibre

La fonction de contrainte d'Airy, notée ϕ(x,y), est définie de telle sorte que les composantes de contrainte sont dérivées de ses dérivées partielles secondes :
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
en l'absence de forces volumiques.

Justification de la forme de la fonction de contrainte d'Airy

Si nous avons une paire de fonctions f(x, y) et g(x, y) liées par

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y},

et si nous trouvons une fonction scalaire

U (x, y)

telle que

f = \frac{\partial U}{\partial y}, g = \frac{\partial U}{\partial x} .

parce que les dérivées partielles mixtes de U sont égales (

\frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} U}{\partial y \partial x}

), alors la relation ci-dessus est automatiquement satisfaite. Cette observation fournit une analogie utile pour formuler les problèmes d'élasticité en termes de fonctions potentielles.

Pour un problème bidimensionnel sans forces volumiques, les équations d'équilibre sont
$\frac{\partial σ_{x}}{\partial x} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial y} = 0, \frac{\partial σ_{y}}{\partial y} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial x} = 0.$
À partir de la première, nous introduisons une fonction $A (x, y)$ telle que
$σ_{x} = \frac{\partial A}{\partial y}, τ_{x y} = - \frac{\partial A}{\partial x},$
et à partir de la deuxième équation, une autre fonction $B (x, y)$ telle que
$σ_{y} = \frac{\partial B}{\partial x}, τ_{x y} = - \frac{\partial B}{\partial y} .$
Parce que
$- τ_{x y} = \frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial B}{\partial y},$
les fonctions A et B peuvent être reliées par une autre fonction scalaire ϕ(x, y) telle que
$A = \frac{\partial ϕ}{\partial y}, B = \frac{\partial ϕ}{\partial x} .$
En substituant ces expressions dans les définitions précédentes, on obtient les composantes de contrainte directement en fonction de ϕ :
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = -, \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x, \partial y} .$

La fonction scalaire $ϕ (x, y)$ , connue sous le nom de fonction de contrainte d'Airy, génère ainsi toutes les composantes de contrainte dans le plan par l'intermédiaire de ses dérivées secondes.

L'ingéniosité de cette définition est que les équations d'équilibre sont automatiquement satisfaites pour toute fonction

ϕ

ayant des dérivées secondes continues.

La substitution de ces définitions dans la première équation d'équilibre le démontre :

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}) + \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}) = \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial x \partial y^{2}} - \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial y \partial x \partial y} = 0$

La deuxième équation d'équilibre est satisfaite de la même manière. C'est un avantage significatif : tout champ de contrainte dérivé d'une fonction d'Airy est garanti d'être en équilibre.

Compatibilité, lois constitutives et équation biharmonique

Bien que l'équilibre soit satisfait, le champ de déformation résultant doit également être compatible, ce qui signifie qu'il doit correspondre à une déformation physique continue. Cette exigence physique est capturée par l'équation de compatibilité des déformations :

$\frac{\partial^{2} ϵ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} ϵ_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} γ_{x y}}{\partial x \partial y}$

Pour continuer, nous devons relier les déformations aux contraintes en utilisant la loi constitutive du matériau. Pour un matériau élastique linéaire isotrope, c'est la loi de Hooke. Ici, nous devons distinguer deux types d'analyse bidimensionnelle.

Dérivation de l'équation biharmonique

Dérivons l'équation gouvernante pour $ϕ$ en utilisant la contrainte plane.¹ Nous commençons par substituer la loi de Hooke dans l'équation de compatibilité des déformations :
$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{x} - ν σ_{y})] + \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{y} - ν σ_{x})] = \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} [\frac{τ_{x y}}{G}]$
En multipliant par $E$ et en réarrangeant les termes, on obtient :
$(\frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial x^{2}}) - ν (\frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial x^{2}}) = \frac{E}{G} \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y} = 2 (1 + ν) \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y}$
Maintenant, substituons les définitions de la fonction de contrainte d'Airy ( $σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}$ , $σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}$ , $τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$ ) :
$(\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}}) - ν (\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{2} \partial x^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}) = - 2 (1 + ν) \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
En simplifiant l'expression :
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
Les termes impliquant $ν$ s'annulent des deux côtés, laissant :
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
En réarrangeant cela, on obtient la célèbre équation biharmonique :
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = 0$
Cette équation peut être écrite de manière compacte sous la forme $\nabla^{4} ϕ = 0$ . Remarquablement, si la même dérivation est effectuée en utilisant les lois constitutives de déformation plane, le résultat est exactement la même équation biharmonique.

Incorporation des forces volumiques

1. Le cas spécifique de la gravité

Considérons un corps dont le propre poids est la seule force volumique agissante. Avec l'axe y pointant verticalement vers le haut, les composantes de la force volumique sont $B_{x} = 0$ et $B_{y} = - ρ g$ . Pour satisfaire les équations d'équilibre modifiées, nous ajustons les définitions des contraintes :
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + ρ g y, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + ρ g y, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
Lorsque ces définitions sont utilisées dans la dérivation de compatibilité, les termes supplémentaires $ρ g y$ s'annulent. L'équation gouvernante pour $ϕ$ reste l'équation biharmonique homogène, $\nabla^{4} ϕ = 0$ . L'effet de la gravité est simplement ajouté au calcul final des contraintes une fois $ϕ$ trouvée.

2. Le cas général utilisant une fonction potentielle

Tout champ de force volumique conservatif peut être décrit par une fonction potentielle $V (x, y)$ où $B_{x} = - \frac{\partial V}{\partial x}$ et $B_{y} = - \frac{\partial V}{\partial y}$ . Les définitions générales des contraintes deviennent :
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + V, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + V$
Dans ce cas général, l'équation gouvernante devient l'équation biharmonique non homogène :
$\nabla^{4} ϕ = - (1 - ν) \nabla^{2} V (pour la contrainte plane)$
Pour la déformation plane, la constante de tête est $- (1 - 2 ν)$ . Cette équation générale confirme notre résultat pour la gravité, puisque pour $V = ρ g y$ , le Laplacien $\nabla^{2} V$ est nul.

La méthode de solution polynomiale

Une stratégie polyvalente pour résoudre l'équation biharmonique est de supposer que la solution est un polynôme en $x$ et $y$ . Une forme générale de la solution est
$ϕ (x, y) = \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{m n} x^{m} y^{n} .$

Degré 0 et 1 ( $m + n \leq 1$ ) : Ces termes produisent une contrainte nulle et peuvent être ignorés.
Degré 2 et 3 ( $m + n = 2$ ou $3$) : Tout polynôme de degré trois ou moins satisfait automatiquement l'équation biharmonique car toutes ses dérivées quatrièmes sont nulles. Leurs coefficients sont déterminés par les conditions aux limites du problème. Un polynôme du second degré produit un état de contrainte constante, tandis qu'un polynôme du troisième degré produit un champ de contrainte variant linéairement.
Degré 4 et plus ( $m + n \geq 4$ ) : Pour ces termes, les coefficients ne sont plus indépendants. Ils doivent être choisis de manière à satisfaire l'équation biharmonique. Par exemple, pour un terme $ϕ_{4} = a_{40} x^{4} + a_{22} x^{2} y^{2} + a_{04} y^{4}$ , les coefficients doivent satisfaire la contrainte $3 a_{40} + a_{22} + 3 c_{04} = 0$ .

Exemples

1. Traction uniaxiale
Pour une barre soumise à une contrainte de traction uniforme $σ_{x} = S$ , nous avons besoin de $\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} = S$ . En intégrant deux fois, on obtient :
$ϕ = \frac{S}{2} y^{2}$
Ce polynôme du second degré satisfait automatiquement $\nabla^{4} ϕ = 0$ .

Pour plus de détails, veuillez consulter cette section.

2. Flexion pure d'une poutre
La contrainte dans une poutre en flexion pure est $σ_{x} = - \frac{M y}{I}$ . Pour obtenir cette contrainte variant linéairement, $ϕ$ doit être une fonction cubique. Nous proposons $ϕ = C y^{3}$ . Cela donne $σ_{x} = 6 C y$ . En comparant cela à la formule connue, nous trouvons que la constante est $C = - M / (6 I)$ , donc la solution est :
$ϕ = - \frac{M}{6 I} y^{3}$