Déformation plane

Hypothèses, rigidité et équations gouvernantes

En mécanique des solides, une autre réduction en 2D est la déformation plane. Elle est utilisée pour modéliser des corps très longs dans une direction (la direction axiale) par rapport à leurs deux autres dimensions, avec des charges et une géométrie qui ne varient pas le long de cet axe long. Un exemple typique est un long barrage, un tunnel ou un mur de soutènement sous chargement uniforme.

Soit la section transversale de la structure le plan $xy$, et la direction longitudinale (axiale) l'axe $z$.

1. Formulation classique de la déformation plane

Hypothèses principales : L'hypothèse fondamentale de la déformation plane est cinématique (liée à la déformation). Pour un corps très long contraint à ses extrémités et chargé uniformément le long de sa longueur, on suppose que chaque section transversale se déforme de manière identique et qu'il n'y a pas de déplacement dans la direction axiale longue.

Mathématiquement, cela impose : $$w(x,y,z)=0$$ $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$ Les déplacements dans le plan, u et v, sont fonctions uniquement de x et y.

À partir de ces hypothèses cinématiques, trois composantes de déformation sont immédiatement nulles : $${ϵ}_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}=0$$ $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

La contrainte axiale (σ_zz) : Une conséquence cruciale de la condition de déformation plane est que même si la déformation axiale (${ϵ}_{zz}$) est nulle, la contrainte axiale (${\sigma }_{zz}$) n'est pas nulle. La tendance du matériau à se contracter ou à se dilater dans la direction z en raison de l'effet de Poisson dû aux contraintes dans le plan est physiquement contrainte. Cette contrainte génère une contrainte de réaction, ${\sigma }_{zz}$.

À partir de la loi de Hooke généralisée pour ${ϵ}_{zz}$ : $${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]=0$$ La résolution pour ${\sigma }_{zz}$ donne : $${\sigma }_{zz}=\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$ Ceci montre qu'une contrainte axiale se développe pour imposer la condition de déformation axiale nulle.

Cohérence mathématique : Contrairement à la contrainte plane, la formulation classique de la déformation plane est cinématiquement cohérente. Les hypothèses sur le déplacement conduisent directement à l'état de déformation défini sans créer de contradictions internes avec les équations de l'élasticité 3D. La formulation n'est pas une approximation de la même manière que la contrainte plane ; elle représente plutôt une solution exacte pour une situation physique idéalisée (un corps infiniment long).

2. Déformation plane généralisée

Bien que la déformation plane classique soit mathématiquement cohérente, son hypothèse w = 0 (et donc ε_zz = 0) est très restrictive. Elle ne peut pas, par exemple, modéliser un long cylindre aux extrémités libres soumis à un changement de température uniforme, car le corps devrait se dilater ou se contracter le long de l'axe z.

La déformation plane généralisée est une extension qui relâche cette contrainte stricte. Elle permet une extension axiale uniforme et/ou une flexion du corps. La forme la plus simple suppose que la déformation axiale est une constante : $${ϵ}_{zz}={ϵ}_0(\text{une constante})$$ Cela correspond à un champ de déplacement où u et v sont toujours uniquement des fonctions de x et y, mais le déplacement axial w peut être une fonction linéaire de z. Cette formulation peut traiter des problèmes impliquant des forces axiales nettes ou une dilatation thermique uniforme tout en maintenant les équations gouvernantes du problème bidimensionnelles.

3. Résumé des équations et inconnues (cas classique)

Pour le problème classique de déformation plane (${ϵ}_{zz}=0$), le système est mathématiquement déterminé.

Les inconnues (Total : 8) : * Déplacements (2) : $u(x,y),v(x,y)$ * Déformations (3) : ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$ * Contraintes (3) : ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$ (Remarque : ${\sigma }_{zz}$ est également une inconnue mais est directement déterminée par ${\sigma }_{xx}$ et ${\sigma }_{yy}$, donc ce n'est pas une inconnue indépendante dans la solution 2D).

Les équations gouvernantes (Total : 8) :

1. Équations d'équilibre (2) : Identiques à celles de la contrainte plane. $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. Équations cinématiques (déformation-déplacement) (3) : Identiques à celles de la contrainte plane. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. Équations constitutives (loi de Hooke pour la déformation plane) (3) : Ces relations sont différentes de celles de la contrainte plane car elles intègrent l'effet de la contrainte non nulle ${\sigma }_{zz}$. Elles sont souvent écrites en utilisant des constantes élastiques effectives. Les relations contrainte-déformation sont : $${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{xx}+\nu {ϵ}_{yy}]$$ $${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{yy}+\nu {ϵ}_{xx}]$$ $${\sigma }_{xy}=G{\gamma }_{xy}(\text{où }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

Avec 8 inconnues et 8 équations indépendantes, le système est fermé et résoluble, fournissant une description complète de l'état de contrainte et de déformation 2D dans la section transversale.

Contrainte plane vs. déformation plane

1. Contrainte plane : Cette condition est supposée pour les corps minces, comme les plaques chargées dans leur plan. L'hypothèse clé est que la composante de contrainte perpendiculaire à la plaque est nulle sur toute son épaisseur : ${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$. Les relations contrainte-déformation sont : $${ϵ}_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$
2. Déformation plane : Cette condition s'applique aux corps très longs ou épais où la géométrie et le chargement ne varient pas le long de la longueur. On suppose que la déformation dans la direction longitudinale est nulle : ${ϵ}_z={\gamma }_{xz}={\gamma }_{yz}=0$. Cette contrainte signifie qu'une contrainte ${\sigma }_z$ peut se développer. Puisque $${ϵ}_z=0=\frac{1}{E}({\sigma }_z-\nu {\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)$$ on obtient$${\sigma }_z=\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)$$Ainsi, les relations contrainte-déformation dans le plan deviennent : $${ϵ}_x=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_x-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_y-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$ où $G={\displaystyle \frac{E}{2(1+\nu )}}$ est le module de cisaillement.

On peut écrire les deux cas sous la forme où et sont le module de Young effectif et le coefficient de Poisson effectif donnés par le tableau suivant.